【最大値と最小値の例題】二次関数の頂点の求め方と成り立つ理由、例題について！

1. 二次関数の頂点

 

二次関数の頂点を求めるとき、平方完成を利用します。

1.1. 平方完成

平方完成を利用して、実際に頂点を求めてみます。まず $a$ で括ります。

$$y = a \left( x^2 + \frac{b}{a}x \right) + c$$

平方完成するために、$\frac{b^2}{4a^2}$ の二乗を加えることで、平方の形を作ります。

$$\begin{align*}y &=a \left( x^2 + \frac{b}{a}x +\frac{b^2}{4a^2}- \frac{b^2}{4a^2}\right) + c \\ &=a \left( \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 – \frac{b^2}{4a^2} \right) + c \end{align*}$$

この時、$\frac{b^2}{4a^2}$ を引くことで、元の式に影響がないようにしています。次に、定数部分をまとめます。

$$y = a \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 – \frac{b^2}{4a} + c$$

1.2. 頂点の座標

1.2.1. a>0の場合

平方完成後の式を見ると、$a\left( x + \frac{b}{2a} \right)^2$ の形になっています。$a>0$より、$a\left( x + \frac{b}{2a} \right)^2$ は0以上であるから、次の不等式が成り立つ。

$$a \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 – \frac{b^2}{4a} + c \geqq 0 – \frac{b^2}{4a} +c$$

不等式より、二次関数の$x$がどのような値をとろうとも、$- \frac{b^2}{4a} +c$以上の値になることがわかる。また、不等式の等号が成立するのは $x = -\frac{b}{2a}$ のときです。したがって、この $x$ の値が頂点の $x$ 座標になります。また、対応する $y$ の値は

$$y = -\frac{b^2}{4a} + c$$

ですので、頂点の座標は

$$\left( -\frac{b}{2a}, -\frac{b^2}{4a} + c \right)$$

となります。

1.2.2. a<0の場合

$a<0$より、$a\left( x + \frac{b}{2a} \right)^2$ は0以下であるから、次の不等式が成り立つ。

$$a \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 – \frac{b^2}{4a} + c \leqq 0 – \frac{b^2}{4a} +c$$

不等式より、二次関数の$x$がどのような値をとろうとも、$- \frac{b^2}{4a} +c$以下の値になることがわかる。

また、不等式の等号が成立するのは $x = -\frac{b}{2a}$ のときです。したがって、この $x$ の値が頂点の $x$ 座標になります。また、対応する $y$ の値は

$$y = -\frac{b^2}{4a} + c$$

ですので、頂点の座標は

$$\left( -\frac{b}{2a}, -\frac{b^2}{4a} + c \right)$$

となります。

2. 例題

2.1. 問題 1: 軸が定義域内にある場合

平方完成を行います。 $$f(x) = x^2 – 4x + 1 = (x – 2)^2 – 3$$ これにより、頂点は $(2, -3)$ であることが分かります。

定義域$0 \leqq x \leqq 5$ における端点での関数値を求めます。

$f(0) = 0^2 – 4(0) + 1 = 1$

$f(5) = 5^2 – 4(5) + 1 = 6$

頂点 $(2, -3)$ が定義域内にあるため、この点でも関数値を確認します。

$f(2) = (2 – 2)^2 – 3 = -3$

よって、定義域$0 \leqq x \leqq 5$における最大値は 6、最小値は -3 です。

2.2. 問題 2: 軸が定義域より右にある場合

平方完成を行います。

$$f(x) = -2x^2 + 3x + 1 = -2\left(x – \frac{3}{4} \right)^2 + \frac{25}{8}$$

これにより、軸は $x = \frac{3}{4}$ にあります。軸 $x = \frac{3}{4}$ は定義域 $-1 \leqq x \leqq 0$の外側にありますので、定義域の端点での関数値を求めます。

$f(-1) = -2(-1)^2 + 3(-1) + 1 = -4$

$f(0) = -2(0)^2 + 3(0) + 1 = 1$

よって、定義域 $-1 \leqq x \leqq 0$ における最大値は 1、最小値は -4 です。

2.3. 問題 3: 軸が定義域より左にある場合

平方完成を行います。 $$f(x) = 3(x – 1)^2 – 1$$ これにより、軸は $x = 1$ にあります。

軸 $x = 1$ は定義域 $2 \leqq x \leqq 4$ の外側にあるため、定義域の端点での関数値を求めます。

$f(2) = 3(2)^2 – 6(2) + 2 = 2$

$f(4) = 3(4)^2 – 6(4) + 2 = 26$

よって、定義域 $2 \leqq x \leqq 4$ における最大値は 26、最小値は -2 です。