【入門】微分積分学のまとめ
高校までの微分積分を「直感で何となく分かる」段階から、大学レベルで「なぜそう言えるか」まで踏み込んで整理し直すためのまとめページだ。極限の ε-N 論法から出発し、一変数の微分・積分、解析でよく出てくる関数たち、媒介変数で描かれる曲線、多変数の微分・積分までを一続きで扱う。
極限と連続性
微分積分学の土台となる収束・発散・連続性を扱う。ε-N 論法による厳密な定義から始め、有界性、部分列、ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理といった性質まで順に整理する。
- ε-N論法について
- はさみうちの原理について
- ダランベールの判定法について
- 上限 (sup) と下限 (inf)について
- 有界・上界・下界について
- 部分列
- ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理
- ヴィエトの無限積
微分法
一変数関数の微分を、定義・計算技法・基本定理・展開・不等式への応用という流れで整理する。微分係数の直感的な意味から出発し、平均値の定理やテイラー展開といった解析の核になる結果までを押さえる。
微分の定義
まずは「微分とは何か」をはっきりさせるところから始める。平均変化率で関数の変化の“ならし”をとらえ、それを極限に飛ばして微分係数、さらに導関数へと積み上げていく流れを追う。最後に、微分可能性と連続性の関係にも触れる。
微分の計算技法
定義どおりに極限を計算するのは、実際の問題ではかなり骨が折れる。ここでは日常的によく使う計算テクニックを集めた。手が自然に動くようになると、あとの定理の証明もぐっと読みやすくなる。
平均値の定理とその周辺
微分法の議論の多くは、突き詰めると平均値の定理に行き着く。最大値・最小値の定理から始めて、ロルの定理、平均値の定理、そのコーシー版へと拡張し、ロピタルの定理や中間値の定理、極値問題への応用までを一続きで見ていく。
- 最大値・最小値の定理
- ロルの定理
- 平均値の定理
- コーシーの平均値の定理
- ロピタルの定理
- 中間値の定理
- 平均値の定理とその応用
- 極値問題
テイラー展開・マクローリン展開
関数を多項式で近似するという発想は、微分積分の応用のかなり広い部分を支えている。まずテイラーの定理で剰余項まで含めて意味を押さえ、特別な場合としてマクローリン展開を見ていく。
- テイラー展開とテイラーの定理について
- マクローリン展開とマクローリンの定理
微分と不等式
微分を使うと、見かけ上むずかしい不等式が意外とすっきり証明できることがある。ここでは解析でよく顔を出す代表的なものを取り上げた。
積分法
一変数関数の積分を、基本公式・計算技法・幾何的な応用・特殊な積分という順で扱う。原始関数の求め方から始め、区分求積法による定義の再確認、ウォリス積分や楕円積分といった応用的な題材まで進む。
さまざまな関数
微分積分学で頻出する関数を 1 つずつ取り上げる。多項式や指数・三角関数の合成から、双曲線関数、ガンマ関数・ベータ関数などの特殊関数まで、微分・積分・極限の具体例として性質をまとめる。
写像と基本的な関数
最初は関数そのものの扱い方を少し丁寧に見ておく。写像としての位置づけを確認したあと、微分積分の例題で繰り返し顔を出す \(x\log x\) や \(xe^x\)、減衰振動の \(e^{-x}\sin x\) といった関数を並べた。
- 写像について
- xについて
- xlogxについて
- $xe^x$について
- $x^ne^x$について
- $e^x\sin x$と$e^x \cos x$について
- $e^{-x}\sin x$と$e^{-x} \cos x$について
双曲線関数
三角関数と双子のような存在として現れる関数群で、指数関数との関係や微分公式が三角関数と驚くほど似ている。性質と逆関数の 2 本立てで扱う。
特殊関数
階乗の拡張であるガンマ関数を中心に、解析・統計・物理でしばしば出てくる関数をまとめた。定義と基本性質を押さえておくと、応用先で戸惑うことが減る。
その他の関数
ここまでのどれにも収まりきらなかったが、解析や応用で何かと使う関数を集めた。ロジット関数や 2 値エントロピー関数のように、統計・情報分野との橋渡しになるものも含んでいる。
曲線
媒介変数表示で定まる代表的な平面曲線を扱う。円が円の上を転がる軌跡として得られるエピサイクロイド系と、円の内側を転がるハイポサイクロイド系を中心に、名前が付いた具体例を並べる。
エピサイクロイド曲線
大きな円のまわりを小さな円が転がり、その円周上の一点が描く軌跡がエピサイクロイドと呼ばれる曲線群だ。半径比を変えるとカージオイドやネフロイドなど、別名を持つおなじみの曲線が次々と姿を現す。
- サイクロイド曲線について
- エピサイクロイド曲線について
- カージオイド曲線について
- ネフロイド曲線について
- トレフォイロイド曲線について
- クアトロフォイロイド曲線について
ハイポサイクロイド曲線
今度は大きな円の内側を小さな円が転がる場合を考える。外側を転がるときとはまた違った、鋭い尖りを持つ幾何的に美しい曲線が得られる。
- ハイポサイクロイド曲線について
多変数関数の微分
2 変数以上の関数に対する微分を扱う。偏微分と全微分の違いを押さえたうえで、シュワルツの定理や極値問題、制約条件付き最適化のためのラグランジュの未定乗数法までを通しで見る。
偏微分・全微分
多変数になると「どの向きの変化を見るか」という新しい問題が生じる。まずは偏微分で各軸方向の変化をとらえ、全微分によって一次近似としての振る舞いを整理する。シュワルツの定理は、混合偏微分の順序交換がいつ許されるかを教えてくれる基本的な結果だ。
- 多変数関数について
- 2変数関数の偏微分について
- 全微分について
- 全微分可能
- シュワルツの定理
多変数の極値問題
一変数の極値問題と同じく停留点を探すところから始まるが、2 変数では二階偏導関数を並べたヘッセ行列の符号で極値の種類を判定する。制約条件がある場合は、ラグランジュの未定乗数法が活躍する。
- 2変数関数の極値問題について
- ラグランジュの未定乗数法
- 【制約条件が等式の場合】ラグランジュの未定乗数法
- 【制約条件が不等式の場合】ラグランジュの未定乗数法
多変数関数の積分
多変数関数を積分する基本技法をまとめる。2 重積分の定義と計算、ヤコビアンを用いた変数変換、3 重積分、そして応用として極座標変換で評価されるガウス積分までを扱う。
- 2重積分について
- 重積分の変数変換について
- 3重積分について
- ガウス積分について