積の微分と商の微分の証明と例題について

1. 積の微分

1.1. 積の微分の証明

導関数の定義より、

$$(f(x)g(x))’=\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac {f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}$$

$$=\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac {f(x+h)g(x+h)+f(x)g(x+h)-f(x)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}$$

$$=\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac {f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x+h)}{h}+\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac {f(x)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}$$

$$=\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac {f(x+h)-f(x)}{h}g(x+h)+\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac {g(x+h)-g(x)}{h}f(x)$$

$$=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$$

1.2. 積の微分の例題

(1)

$$(x\sin x)’$$

$$=(x)’ \sin x+x(\sin x)’$$

$$=\sin x +x\cos x$$

(2)

$$(\sin x\tan x)’$$

$$=(\sin x)’ \tan x+\sin x(\tan x)’$$

$$=\cos x\tan x +\displaystyle\frac{\sin x}{\cos^2 x}$$

$$=\sin x +\displaystyle\frac{\tan x}{\cos x}$$

(3)

$$(x^2\cos x)’$$

$$=(x^2)’ \cos x+x^2(\cos x)’$$

$$=2x\cos x -x^2\sin x$$

2. 商の微分公式

分子は$f(x)$を微分したもとのと$g(x)$の積に対して$f(x)$に$g(x)$の微分の積を引いている。分母は$g(x)^2$となっている。

2.1. 商の微分公式の証明

導関数の定義より、

$$\displaystyle\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)’$$

$$=\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{\displaystyle\frac{f(x+h)}{g(x+h)}-\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}}{h}$$

$$=\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)g(x)-f(x)g(x+h)}{h g(x) g(x+h)}$$

$$=\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)g(x)+f(x)g(x)-f(x)g(x)-f(x)g(x+h)}{h g(x) g(x+h)}$$

$$=\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{(f(x+h)-f(x))g(x)-(g(x+h)-g(x))f(x)}{h g(x) g(x+h)}$$

$$=\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\cdot\displaystyle\frac{g(x)}{g(x+h)g(x)}-\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\cdot\displaystyle\frac{f(x)}{g(x+h)g(x)}$$

$$=\displaystyle\frac{f'(x)g(x)}{g(x)^2}-\displaystyle\frac{f(x)g'(x)}{g(x)^2}$$

$$=\displaystyle\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}$$

2.2. 積の微分法則を利用した証明

まず、分子と分母の積の形を利用して、次のように変形します。

$$ \frac{f(x)}{g(x)} = f(x) \cdot \frac{1}{g(x)} $$

この形において、\( f(x) \) と \( \frac{1}{g(x)} \) の積の微分を求めます。積の微分法則を適用すると、次のように表せます。

$$ \left( f(x) \cdot \frac{1}{g(x)} \right)’ = f'(x) \cdot \frac{1}{g(x)} + f(x) \cdot \left(\frac{1}{g(x)}\right)’ $$

ここで、\( \left(\frac{1}{g(x)}\right)’ \) の部分をさらに微分します。

$$ \left(\frac{1}{g(x)}\right)’ = -\frac{g'(x)}{(g(x))^2} $$

これを元の式に代入すると、次のようになります。

$$ f'(x) \cdot \frac{1}{g(x)} + f(x) \cdot \left(-\frac{g'(x)}{(g(x))^2}\right) $$

さらにこれを整理すると、

$$ \frac{f'(x)}{g(x)} – \frac{f(x)g'(x)}{(g(x))^2} $$

共通の分母 \( g(x)^2 \) に合わせて一つの分数にまとめると、

$$ \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)’ =\frac{f'(x)g(x) – f(x)g'(x)}{(g(x))^2} $$

2.3. 商の微分公式の例題

(1)sinc関数を微分すると次のようになります。

$$\displaystyle\left(\displaystyle\frac{\sin x}{x}\right)’$$

$$=\displaystyle\frac{x(\sin x)’-(x)’\sin x }{x^2}$$

$$=\displaystyle\frac{x\cos x-\sin x }{x^2}$$

(2)

$$\displaystyle\left(\displaystyle\frac{1}{\cos x}\right)’$$

$$=\displaystyle\frac{\cos x(1)’-(\cos x)’ \cdot 1 }{\cos^2 x}$$

$$=\displaystyle\frac{\sin x }{\cos^2 x}$$

2.4. タンジェントの微分

まず、\(\tan x\) は、次のように表せます。

\[ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \]

この式を利用して、商の微分法を適用します。

\[ (\tan x)’ = \left( \frac{\sin x}{\cos x} \right)’ = \frac{(\sin x)’ \cos x – \sin x (\cos x)’}{\cos^2 x} \]

ここで、\(\sin x\) の微分は \(\cos x\)、\(\cos x\) の微分は \(-\sin x\) ですから、

\[ (\tan x)’ = \frac{\cos x \cdot \cos x + \sin x \cdot \sin x}{\cos^2 x} \]

\[ = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} \]

三角関数の関係式である \(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\) を用いると、

\[ (\tan x)’ = \frac{1}{\cos^2 x} \]

これを別の形で表すと、\(\tan x\) の微分は \(\sec^2 x\) に等しいことが分かります。

\[ (\tan x)’ = \sec^2 x \]

次に、\(\frac{1}{\tan x}\) の微分を考えます。まず、\(\frac{1}{\tan x}\) を \(\cot x\) として表し直しましょう。

\[ \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} \]

この式を利用して、同様に商の微分法則を適用します。

\[ \left( \frac{1}{\tan x} \right)’ = \left( \frac{\cos x}{\sin x} \right)’ = \frac{(\cos x)’ \sin x – \cos x (\sin x)’}{\sin^2 x} \]

ここで、\(\cos x\) の微分は \(-\sin x\)、\(\sin x\) の微分は \(\cos x\) なので、

\[ \left( \frac{1}{\tan x} \right)’ = \frac{-\sin x \cdot \sin x – \cos x \cdot \cos x}{\sin^2 x} \]

\[ = \frac{-\sin^2 x – \cos^2 x}{\sin^2 x} \]

三角関数の関係式を用いると、\(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\) ですので、

\[ \left( \frac{1}{\tan x} \right)’ = -\frac{1}{\sin^2 x} \]

したがって、\(\cot x\) の微分は \(-\csc^2 x\) に等しいことが分かります。

\[ (\cot x)’ = -\csc^2 x \]

これで、\(\tan x\) の微分と \(\cot x\) の微分がそれぞれ \(\sec^2 x\) と \(-\csc^2 x\) であることが確認できました。