【加法定理】三角関数の積和の公式の証明と使い方について
積和の公式（積を和に変換）
積和の公式は、三角関数の積（掛け算）を和（足し算や引き算）の形に変換するための公式です。
和積の公式
和積の公式は、三角関数の和を積の形に変換するための公式です。
積和の公式の証明
証明 1: \(\sin A \cos B\)
まず、\(\sin (A + B)\) と \(\sin (A – B)\) の加法定理を用います。
\[ \sin (A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B \] \[ \sin (A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B \]
これらを足し合わせると、
$$\begin{align*}\sin (A + B) + \sin (A - B) &= (\sin A \cos B + \cos A \sin B) + (\sin A \cos B - \cos A \sin B)\\ &= 2 \sin A \cos B\end{align*}$$
したがって、
\[ \sin A \cos B = \frac{1}{2} \left( \sin (A + B) + \sin (A - B) \right) \]
証明 2: \(\cos A \cos B \)
次に、\(\cos (A + B)\) と \(\cos (A – B)\) の加法定理を利用します。
\[ \cos (A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B \] \[ \cos (A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B \]
これらを足し合わせると、
$$\begin{align*}\cos (A + B) + \cos (A - B) &= (\cos A \cos B - \sin A \sin B) + (\cos A \cos B + \sin A \sin B) \\ &= 2 \cos A \cos B \end{align*}$$
したがって、
\[ \cos A \cos B = \frac{1}{2} \left( \cos (A + B) + \cos (A - B) \right) \]
証明 3: \(\sin A \sin B\)
\(\cos (A + B)\) と \(\cos (A – B)\) の加法定理を用います。
\[ \cos (A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B \] \[ \cos (A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B \]
これらを引き算すると、
$$\begin{align*}\cos (A - B) - \cos (A + B) &= (\cos A \cos B + \sin A \sin B) - (\cos A \cos B - \sin A \sin B) \\ &= 2 \sin A \sin B \end{align*}$$
したがって、
\[ \sin A \sin B = \frac{1}{2} \left( \cos (A - B) - \cos (A + B) \right) \]
例題
例題1
公式を使うと、
$$\begin{align*}\sin 3x \cos 2x &= \frac{1}{2} \left( \sin (3x + 2x) + \sin (3x - 2x) \right) \\ &= \frac{1}{2} \left( \sin 5x + \sin x \right) \end{align*}$$
例題2
公式を使うと、
$$\begin{align*}\cos 4x \cos 3x &= \frac{1}{2} \left( \cos (4x + 3x) + \cos (4x - 3x) \right)\\ &= \frac{1}{2} \left( \cos 7x + \cos x \right) \end{align*}$$
例題3
公式を使うと、
$$\begin{align*} \sin 5x \sin 2x &= \frac{1}{2} \left( \cos (5x - 2x) - \cos (5x + 2x) \right)\\ &= \frac{1}{2} \left( \cos 3x - \cos 7x \right) \end{align*}$$
