微分積分学
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数列の上極限（lim sup）と下極限（lim inf）の意味と具体例について
数列は 1 点に落ち着く（収束する）ものばかりではありません。 1, −1, 1, −1,… のように 振動 したり 1, 2, 3, 4,… のように 発散 したり ──そんな「行き先が定まらない」 …
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コーシー列の意味、収束列の関係と例題について
コーシー列 コーシー列（Cauchy sequence）とは、数列の収束に関する概念の一つです。具体的には、ある数列 \( \{a_n\} \) がコーシー列であるとは、次の条件を満たすことを意味しま …
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２変数関数の偏微分の定義・具体例・例題について
偏微分とは 具体例 例えば、関数 \( f(x, y) = x^2y + 3xy^2 \) の場合、次のように偏微分を求めます。 \( x \) に関する偏微分: \[ \frac{\partial …
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2変数関数の極値を求める方法の証明について
2変数関数 \( f(x, y) \) の「極値」（極大値・極小値）を求めるには、大まかに次の2段階の手順を踏みます。 臨界点を見つける まずは 1階偏導関数 \( f_x \) と \ …
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全微分の意味と計算方法について
全微分の式 ここで、\( \frac{\partial f}{\partial x} \) と \( \frac{\partial f}{\partial y} \) はそれぞれ \( x \) と …
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ヴィエトの無限積とオイラーの公式の意味と証明について
ヴィエトの無限積とは 無限に続く平方根の積によって、\(\frac{2}{\pi}\) を表現しているのが大きな特徴です。これを両辺逆数にすると、\(\pi\) は \[ \pi = 2 \times …
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【信号処理】ディラックのデルタ関数の意味と性質について
デルタ関数（インパルス関数）とは？ ディラックのデルタ関数（またはインパルス関数）は、数学や物理学で重要な概念の一つです。一見すると通常の関数のように思えますが、実際には少し異なります。この関数は、非 …
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リーマン・ゼータ関数の意味と性質について
リーマンゼータ関数 ここで、\(s\) は複素数を表します。この級数は、\(s\) の実部が1より大きい場合に収束します。 例 \(s = -1\) のとき： \[ \zeta(-1) = -\fra …