微分積分学
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オイラーの公式の定義・性質・証明・例題について
オイラーの公式とは オイラーの公式の証明 マクローリン展開による証明 $\sin x,\cos x,e^{ix}$をそれぞれマクローリン展開する。 $\sin x$をマクローリン展開する。 $$\si …
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勾配(gradient)について!意味とディープラーニングへの応用について
勾配とは 勾配の特徴 勾配の計算の具体例 2変数関数 \( f(x,y) = x^2 + y \) の勾配は、関数の各変数に関する偏微分を計算することで求められます。勾配ベクトルは次のように定義されま …
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テイラーの定理とテイラー展開
テイラーの定理 ここで、\( R_n(x) \) は剰余項（誤差項）で、\( n \) 次のテイラー多項式による近似と実際の関数値との差を表します。 剰余項の形式 剰余項 \( R_n(x) \) に …
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双曲線関数の定義・微分・関係式・性質・グラフ・例題について
双曲線関数とは 双曲線関数の性質 双曲線関数の性質1（三角関数と双曲線関数） オイラーの公式を使います。 $\begin{aligned}e^{ix}=\cos x+i\sin x\\ e^{-ix} …
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数列の上極限（lim sup）と下極限（lim inf）の意味と具体例について
数列は 1 点に落ち着く（収束する）ものばかりではありません。 1, −1, 1, −1,… のように 振動 したり 1, 2, 3, 4,… のように 発散 したり ──そんな「行き先が定まらない」 …
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コーシー列の意味、収束列の関係と例題について
コーシー列 コーシー列（Cauchy sequence）とは、数列の収束に関する概念の一つです。具体的には、ある数列 \( \{a_n\} \) がコーシー列であるとは、次の条件を満たすことを意味しま …
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２変数関数の偏微分の定義・具体例・例題について
偏微分とは 具体例 例えば、関数 \( f(x, y) = x^2y + 3xy^2 \) の場合、次のように偏微分を求めます。 \( x \) に関する偏微分: \[ \frac{\partial …
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2変数関数の極値を求める方法の証明について
2変数関数 \( f(x, y) \) の「極値」（極大値・極小値）を求めるには、大まかに次の2段階の手順を踏みます。 臨界点を見つける まずは 1階偏導関数 \( f_x \) と \ …