微分積分学
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【極限】関数の連続性の意味と例題、確認方法について
連続性とは何か？ 関数 \( f(x) \) が点 \( x = a \) で連続であるとは、以下の3つの条件がすべて満たされることを言います。 これらの条件により、関数の値がその点で連続であることが …
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べき級数の意味について
べき級数とは 冪級数（power series、べききゅうすう）とは、「無限級数」の一種で、特定の数（中心）を基準に、その数の累乗（べき乗）を使って数式を展開するものです。特に関数や方程式の解析に使わ …
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【制約条件が等式の場合】ラグランジュの未定乗数法の手順・具体例・例題について
ラグランジュの未定乗数法 ラグランジュの未定乗数法は、制約条件の下で極致を求める方法です。制約条件が等式、不等式の場合があり、今回は等式の場合について解説します。 ラグランジュの未定乗数法の問題設定 …
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【片側極限】右側極限と左側極限の意味と計算方法について
極限とは まず、関数の極限とは何かを簡単に説明します。ある関数 \( f(x) \) が、変数 \( x \) が特定の値 \( a \) に近づくときに、\( f(x) \) が$\alpha$に近 …
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単調増加と単調減少の意味と性質、判定について
単調増加 単調増加は、ある関数が「常に値が増加している」状態を指します。より正確には、任意の \( x_1 < x_2 \) に対して、関数 \( f(x) \) の値が \( f(x_1) \ …
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【積分】三角関数の直交性と証明について
三角関数の直交性 これはフーリエ級数展開と関係があります。 証明 正弦波（sin）同士の積の証明 まず、積和の公式を利用して、\(\sin(mx)\sin(nx)\)を以下のように変形します。 \[ …
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床関数（ガウス記号）と天井関数の性質・具体例について
床関数と天井関数 床関数 (floor function) と天井関数 (ceiling function) は、実数を整数に変換する際によく使われる関数です。それぞれ次のように定義されます。 床関数 …
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【7選】基本的な極限の公式について
三角関数の極限 続いて、特に重要でよく使われるいくつかの極限の公式を紹介します。これらは、多くの問題で頻繁に登場するため、覚えておくと役立ちます。 $$\lim_{x \to 0} \frac{\si …