微分積分学
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関数の極限の性質・例題について
関数の極限の性質 まず、関数の極限の性質をいくつか見てみましょう。 関数 \( f(x) \) の極限が存在するとき、定数 \( c \) を掛けた場合でも、次のように極限を計算できます。 \( f( …
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【極限】関数の連続性の意味と例題、確認方法について
連続性とは何か? 関数 \( f(x) \) が点 \( x = a \) で連続であるとは、以下の3つの条件がすべて満たされることを言います。 これらの条件により、関数の値がその点で連続であることが …
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オイラーの公式の定義・性質・証明・例題について
オイラーの公式とは オイラーの公式の証明 マクローリン展開による証明 $\sin x,\cos x,e^{ix}$をそれぞれマクローリン展開する。 $\sin x$をマクローリン展開する。 $$\si …
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勾配(gradient)について!意味とディープラーニングへの応用について
勾配とは 勾配の特徴 勾配の計算の具体例 2変数関数 \( f(x,y) = x^2 + y \) の勾配は、関数の各変数に関する偏微分を計算することで求められます。勾配ベクトルは次のように定義されま …
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双曲線関数の定義・微分・関係式・性質・グラフ・例題について
双曲線関数とは 双曲線関数の性質 双曲線関数の性質1(三角関数と双曲線関数) オイラーの公式を使います。 $\begin{aligned}e^{ix}=\cos x+i\sin x\\ e^{-ix} …
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微分係数の定義・例題について
微分係数 この式は、平均変化率(ある区間での関数の変化の割合)を \( \Delta x \) が限りなく小さくなるときに考えることで、微分係数を得ます。微分係数が存在する場合、関数 \( f(x) …
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数列の上極限(lim sup)と下極限(lim inf)の意味と具体例について
数列は 1 点に落ち着く(収束する)ものばかりではありません。 1, −1, 1, −1,… のように 振動 したり 1, 2, 3, 4,… のように 発散 したり ──そんな「行き先が定まらない」 …
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コーシー列の意味、収束列の関係と例題について
コーシー列 コーシー列(Cauchy sequence)とは、数列の収束に関する概念の一つです。具体的には、ある数列 \( \{a_n\} \) がコーシー列であるとは、次の条件を満たすことを意味しま …