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微分積分学
更新:2024/09/15

数列と関数、集合の有界・上界・下界の定義・具体例・例題について

はるか
はるか
有界な集合の話か。集合に対して上界と下界を見つけることが重要だね。
ふゅか
ふゅか
そうそう！集合のすべての要素がある数以下だったら、それを上に有界って言うんだよね。逆は、下に有界って言うね！
目次

1. 有界な集合

1.1. 上界

集合 S S に含まれるすべての数が、ある一つの数 K K 以下であるとき、S S は上に有界であるといい、その K K を上界と呼びます。SSの任意の要素をxxとすると、

x≤Kx\leq K

上界の最小値を上限といいます。

はるか
はるか
上限は上界の最小値。全ての上界の中で一番小さいものを見つけるのがポイント。

1.2. 下界

集合 S S に含まれるすべての数が、ある一つの数 k k 以上であるとき、S S は下に有界であるといい、その k k を下界と呼びます。SSの任意の要素をxxとすると、

x≥kx\geq k

下界の最大値を下限といいます。

はるか
はるか
下界はそれと逆で、集合のすべての要素がある数以上だったら、それを下に有界と言う。

1.3. 有界

集合 S S が上に有界であり、かつ下に有界である場合、S S を有界な集合と呼びます。SSの任意の要素をxxとすると、

k≤x≤Kk \leq x\leq K

2. 有界な集合の例題

2.1. 例題1

集合 A={x∣x∈R,1≤x<5} A = \{ x \mid x \in \mathbb{R},1 \leq x < 5 \} が有界であるか、上界と下界が存在するか判定してください。

集合 A A の要素は x<5 x < 5 なので、任意の x≥5 x \geq 5 が上界になります。したがって、最小の上界（上限）は sup⁡A=5 \sup A = 5 です。

集合 A A の要素は x≥1 x \geq 1 なので、任意の x≤1 x \leq 1 が下界になります。したがって、最大の下界（下限）は inf⁡A=1 \inf A = 1 です。

集合 A A は上界と下界が存在するので、有界です。

2.2. 例題2

集合 B={x∣x∈R,x2<4} B = \{ x \mid x \in \mathbb{R} ,x^2 < 4 \} が有界であるか、上界と下界が存在するか判定してください。

条件 x2<4 x^2 < 4 から、−2<x<2 -2 < x < 2 です。したがって、集合 B B の上限は sup⁡B=2 \sup B = 2 であり、下限は inf⁡B=−2 \inf B = -2 です。

集合 B B は上界 と下界  が存在するので、有界です。

2.3. 例題3

集合 C={x∣x∈N,x>0} C = \{ x \mid x \in \mathbb{N} ,x > 0 \} が有界であるか、上界と下界が存在するか判定してください。

自然数全体の集合であり、最大の数が存在しないため上界は存在しません。したがって、上限はありません。

一方、自然数の中で最小の数は 1 1 であり、これは下限です。したがって、集合 C C の下限は inf⁡C=1 \inf C = 1 です。

集合 C C は上界が存在しないため、無界です。

2.4. 例題4

集合 D={x∣x∈R,−3≤x≤2} D = \{ x\mid x \in \mathbb{R} ,-3 \leq x \leq 2 \} が有界であるか、上界と下界が存在するか判定してください。

集合 D D の最大の数は 2 2 なので、上限は sup⁡D=2 \sup D = 2 です。

集合 D D の最小の数は −3 -3 なので、下限は inf⁡D=−3 \inf D = -3 です。

集合 D D は上界と下界が存在するので、有界です。

3. 有界な数列

3.1. 数列の有界性

数列 {an}\{a_n\} が有界であるとは、正の定数 KK が存在して

∣an∣<K(n≥1) |a_n| < K \quad (n \geq 1)

を満たすことを指します。つまり、全ての n≥1n \geq 1 に対して ∣an∣|a_n| が定数 KK 以内に収まることを意味します。

3.2. 有界な数列

有界な数列は、値が一定の範囲内に収まるものを指します。

 

3.3. 有界でない数列

有界でない数列は、例えば無限に遠くへ飛んでいく感じです。

4. 数列の例題

4.1. 例題1

数列 {an}\{a_n\} を次のように定義します。

an=1n(n≥1) a_n = \frac{1}{n} \quad (n \geq 1)

  1. この数列の上限と下限を確認しなさい。
  2. 数列が有界かどうかを判定しなさい。
  1. 数列 an=1na_n = \frac{1}{n} の上限は、最初の項 a1=1a_1 = 1 であり、下限は数列が無限に進むにつれて値が 00 に近づくため 00 です。
    • 上限：11
    • 下限：00
  2. 上限と下限がともに存在するため、この数列は有界です。

4.2. 例題2

数列 {bn}\{b_n\} を次のように定義します。

bn=(−1)n⋅n(n≥1) b_n = (-1)^n \cdot n \quad (n \geq 1)

  1. この数列の上限と下限を確認しなさい。
  2. 数列が有界かどうかを判定しなさい。
  1. 数列 bn=(−1)n⋅nb_n = (-1)^n \cdot n の場合、奇数 nn のとき bnb_n は負の値をとり、偶数 nn のとき bnb_n は正の値をとります。そして、正の値は常に増加し、負の値は常に減少する。したがって、上界と下界は次のようになります。
    • 上限：存在しない
    • 下限：存在しない
  2. 上限も下限も存在しないため、この数列は有界ではありません。

4.3. 例題3

数列 {an}\{a_n\} を次のように定義します。

an=128n(n≥1) a_n = 128n \quad (n \geq 1)

  1. この数列の上限と下限を確認しなさい。
  2. 数列が有界かどうかを判定しなさい。
  1. 数列 an=128na_n = 128n の場合、nn が増加すると ana_n の値も無限に増加します。
    • 上限：存在しない（数列は正の無限大に発散します）
    • 下限：n=1n = 1 のとき、最小値 a1=128a_1 = 128 です。
  2. 上限が存在しないため、この数列は上に有界ではありません。しかし、下限は 128128 であるため、下に有界です。
    • この数列は上に有界ではないが、下に有界です。

5. 有界な関数

5.1. 関数の有界性

関数 f f が有界であるとは、ある K>0 K > 0 が存在して、

∣f(x)∣<K,x∈A |f(x)| < K, \quad x \in A

が成り立つことです。つまり、関数の絶対値∣f(x)∣ |f(x)| が定数 K K 以内に収まることを意味します。

5.2. 有界な関数

有界な関数は、グラフが一定の範囲内に収まるものを指します。

 

5.3. 有界でない関数

有界でない関数は、数列と同様に無限に遠くへ飛んでいく感じです。

6. 有界な関数の例題

6.1. 例題1

関数 f(x)=x1+x2 f(x) = \frac{x}{1+x^2} の上限と下限を求め、その関数が有界かどうかを判定してください。

f′(x)=1–x2(1+x2)2 f'(x) = \frac{1 – x^2}{(1+x^2)^2} を計算し、f′(x)=0 f'(x) = 0 を解きます。

1–x2=0 1 – x^2 = 0 なので、x=±1 x = \pm 1 が得られます。

極値の計算を行うと次のようになります。

f(1)=12f(1) = \frac{1}{2}

f(−1)=−12f(-1) = -\frac{1}{2}

これらの点と x→±∞ x \to \pm\infty の極限を確認します。

極限の計算を行うと次のようになります。

lim⁡x→∞x1+x2=lim⁡x→∞1x1+1x2=0\lim_{x \to \infty} \frac{x}{1+x^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{ \frac{1}{x}}{1+ \frac{1}{x^2}} = 0

lim⁡x→−∞x1+x2=lim⁡x→−∞1x1+1x2=0\lim_{x \to -\infty} \frac{x}{1+x^2} = \lim_{x \to -\infty} \frac{ \frac{1}{x}}{1+ \frac{1}{x^2}} = 0

増減表を書くと次のようになります。

したがって、上限と下限は次のようになります。

上限: 12 \frac{1}{2}

下限: −12 -\frac{1}{2}

関数の上限が 12 \frac{1}{2} 、下限が −12 -\frac{1}{2} であり、∣f(x)∣≤12|f(x)|\leq \frac{1}{2}より、これらの範囲内で f(x) f(x) のすべての値が存在するので、この関数は有界です。

6.2. 例題2

関数 f(x)=x2 f(x) = x^2 の上限と下限を求め、その関数が有界かどうかを判定してください。

この関数の値は常に非負であり、最小値は x=0 x = 0 のときに取られます。

極限の計算を行うと次のようになります。

lim⁡x→∞x2=∞ \lim_{x \to \infty} x^2 = \infty

lim⁡x→−∞x2=∞ \lim_{x \to -\infty} x^2 = \infty

最小値の計算を行うと次のようになります。

f(0)=0 f(0) = 0

上限と下限については次のようになります。

下限: 0 0

上限: 存在しない

下に有界ではあるが、この関数は有界ではありません。

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