全微分の意味と計算方法について

ふゅか

全微分ってつまり何を表してるの？

はるか

多変数関数の微小な変化量。偏微分を使って近似する。

1. 全微分の式

ここで、$\frac{\partial f}{\partial x}$ と $\frac{\partial f}{\partial y}$ はそれぞれ $x$ と $y$ に関する $f$ の偏微分を示し、$dx$ と $dy$ は $x$ と $y$ の微小変化を示します。

2. 全微分の導出

全微分は、テイラー展開の一次項を用いて導出できます。

関数 $f(x, y)$ を点 $(x, y)$ でテイラー展開すると、

$$f(x + dx, y + dy) = f(x, y) + \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy + \text{高次の項}$$

微小な変化 $dx$、$dy$ を考えているので、高次の項は無視できます。したがって、

$$dz = f(x + dx, y + dy) – f(x, y) = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy$$

となり、これが全微分の式になります。

3. 全微分の計算問題

3.1. 例題1

$\frac{\partial z}{\partial x}$ を求めます。

$$\frac{\partial z}{\partial x} = 2xy + y \cos(xy)$$

$\frac{\partial z}{\partial y}$ を求めます。

$$\frac{\partial z}{\partial y} = x^2 + x \cos(xy)$$

全微分の式に代入する

$$dz = (2xy + y \cos(xy))dx + (x^2 + x \cos(xy))dy$$

これで、関数 $z$ の全微分が求まりました。

3.2. 例題2

(1) まず、$x$ と $y$ に対する偏微分を計算します。
$$\dfrac{\partial f}{\partial x} = 2xy + 3y$$

$$\dfrac{\partial f}{\partial y} = x^2 + 3x$$

したがって、

$$df = (2xy + 3y )dx+(x^2 + 3x)dy$$

(2)次に、関数 $f(x, y) = x^2 y + 3xy$ の点 $(1, 2)$ での全微分を求めてみましょう。

$$df = 10 dx + 4 dy$$