指数分布とモーメント母関数を利用した計算について

1. 指数分布とは

指数分布は、連続確率分布の一種で、主に以下のような場面で使われます。

• 待ち時間の分布例: あるイベント（電話がかかってくる、信号が青に変わるなど）の発生までの時間。

1.1. 確率密度関数（PDF）

指数分布の確率密度関数は次のように表されます。

$$f(x; \lambda) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x} & (x \geq 0) \\ 0 & (x < 0) \end{cases}$$

ここで:

• $\lambda$ は正のパラメータ（率パラメータ）で、平均発生率を示します。
• $x$ は時間や距離などの非負の実数です。

2. 母関数とは

2.1. 母関数

モーメント母関数は、次のように定義されます。

$$M_X(t) = \mathbb{E}[e^{tX}] = \int_{-\infty}^\infty e^{tx} f(x) \, dx$$

3. 母関数の計算

指数分布の確率密度関数（PDF）は次の通りです。

$$f(x; \lambda) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x} & (x \geq 0) \\ 0 & (x < 0) \end{cases}$$

モーメント母関数は以下で定義されます。

$$M_X(t) = \mathbb{E}[e^{tX}] = \int_{0}^\infty e^{tx} f(x; \lambda) \, dx$$

これを指数分布の場合に適用すると、

$$M_X(t) = \int_{0}^\infty e^{tx} \lambda e^{-\lambda x} \, dx$$

積分を計算します。

$$M_X(t) = \lambda \int_{0}^\infty e^{-(\lambda – t)x} \, dx$$

したがって、

$$M_X(t) = \lambda \cdot \frac{1}{\lambda – t} = \frac{\lambda}{\lambda – t} \quad (\text{for } t < \lambda)$$

4. 期待値（平均）

期待値はモーメント母関数の1階微分を $t = 0$ で評価することで求まります。

$$\mathbb{E}[X] = M_X'(0)$$

まず、モーメント母関数を微分します。

$$M_X'(t) = \frac{d}{dt} \left( \frac{\lambda}{\lambda – t} \right) = \frac{\lambda}{(\lambda – t)^2}$$

$t = 0$ を代入すると、

$$M_X'(0) = \frac{\lambda}{\lambda^2} = \frac{1}{\lambda}$$

したがって、期待値は $\mathbb{E}[X] = \frac{1}{\lambda}$ です。

5. 分散

分散は次の式で求めます。

$$\text{Var}(X) = \mathbb{E}[X^2] – (\mathbb{E}[X])^2$$

まず、2階微分を計算します。

$$M_X”(t) = \frac{d}{dt} \left( \frac{\lambda}{(\lambda – t)^2} \right) = \frac{2\lambda}{(\lambda – t)^3}$$

$t = 0$ を代入すると、

$$M_X”(0) = \frac{2\lambda}{\lambda^3} = \frac{2}{\lambda^2}$$

これを使って $\mathbb{E}[X^2]$ を求めます。

$$\mathbb{E}[X^2] = M_X”(0) = \frac{2}{\lambda^2}$$

次に分散を計算します。

$$\text{Var}(X) = \mathbb{E}[X^2] – (\mathbb{E}[X])^2 = \frac{2}{\lambda^2} – \left( \frac{1}{\lambda} \right)^2$$

$$\text{Var}(X) = \frac{2}{\lambda^2} – \frac{1}{\lambda^2} = \frac{1}{\lambda^2}$$