極座標と直交座標の変換の具体例・例題について

はるか

極座標の話だけど、まずは基本から。極座標は、平面上の点を半径と角度で表す方法。

ふゅか

だね。直交座標と違って、直接点の位置を表すんじゃなくて、原点からの距離と角度で考えるんだ！

1. 極座標とは

極座標は、平面上の任意の点を、原点からの距離（半径）と、原点からの角度で表す座標系です。

1.1. 極座標上の点

例えば、点 $P$ が原点から距離 $r = 2$、角度 $\theta = \frac{\pi}{4}$ の位置にある場合、その極座標は $P(2, \frac{\pi}{4})$ です。

2. 座標変換

はるか

極座標は直交座標に変換することができる。

ふゅか

直交座標から極座標の計算もできるわ！

2.1. 極座標から直交座標への変換

2.2. 極座標から直交座標への変換

$\cos\theta$と$\sin\theta$から$\theta$を求めます。また、$\theta$は逆三角関数を利用すると、

$$\theta = \tan^{-1} \left(\frac{y}{x}\right)$$

3. 例題

3.1. 例題1: 極座標から直交座標への変換

与えられた極座標は $r = 5$ と $\theta = \frac{\pi}{4}$ より、

$x$ 座標を求めます。

$$x = 5 \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = 5 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{5\sqrt{2}}{2}$$

$y$ 座標を求めます。

$$y = 5 \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = 5 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{5\sqrt{2}}{2}$$

したがって、点 $P$ の直交座標は $\left( \frac{5\sqrt{2}}{2}, \frac{5\sqrt{2}}{2} \right)$ です。

3.2. 例題2: 直交座標から極座標への変換

与えられた直交座標は $x = 3$ と $y = 3\sqrt{3}$ です。

$r$ を求めます。

$$r = \sqrt{3^2 + (3\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 27} = \sqrt{36} = 6$$

$\theta$ を求めます。

$$\sin \theta = \frac{x}{r} = \frac{3}{6}=\frac{1}{2}$$

$$\cos \theta = \frac{y}{r} = \frac{3\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

$\theta=\frac{\pi}{3}$である。したがって、点 $Q$ の極座標は $(r, \theta) = (6, \frac{\pi}{3})$ です。

また、逆三角関数を利用して、次のように求めることができる。

$$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{3\sqrt{3}}{3}\right) = \tan^{-1}(\sqrt{3})$$

$\tan^{-1}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$ なので、$\theta = \frac{\pi}{3}$