更新:2024/09/16

スカラー3重積の定義・性質・例題・平行六面体について

1. スカラー3重積

三つのベクトル a\mathbf{a}, b\mathbf{b}, c\mathbf{c}を用いてスカラー三重積は次のように定義されます。

a(b×c) \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})

ここで、b×c\mathbf{b} \times \mathbf{c} はベクトル b\mathbf{b}c\mathbf{c}外積であり、その結果得られるベクトルは b\mathbf{b}c\mathbf{c} 両方に垂直なベクトルです。次に、このベクトルと a\mathbf{a} の内積をとりす。

はるか
はるか
スカラー3重積はスカラー値。

1.1. スカラー3重積の成分の計算

スカラー三重積 a(b×c)\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) を成分を用いて計算する方法を説明します。まず、ベクトル a\mathbf{a}, b\mathbf{b}, c\mathbf{c} の成分を以下のように設定します。

a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),c=(c1,c2,c3) \mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3), \quad \mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3), \quad \mathbf{c} = (c_1, c_2, c_3)

1.1.1. ステップ 1: 外積 b×c\mathbf{b} \times \mathbf{c} の計算

ベクトルの外積は、次のように計算されます。

b×c=(b2c3b3c2,b3c1b1c3,b1c2b2c1) \mathbf{b} \times \mathbf{c} = \left( b_2 c_3 – b_3 c_2, b_3 c_1 – b_1 c_3, b_1 c_2 – b_2 c_1 \right)

1.1.2. ステップ 2: 内積 a(b×c)\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) の計算

外積の結果を用いて内積を計算します。

a(b×c)=a1(b2c3b3c2)+a2(b3c1b1c3)+a3(b1c2b2c1) \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = a_1 (b_2 c_3 – b_3 c_2) + a_2 (b_3 c_1 – b_1 c_3) + a_3 (b_1 c_2 – b_2 c_1)

1.2. スカラー3重積の計算問題

問題

ベクトル a\mathbf{a}, b\mathbf{b}, そして c\mathbf{c} が以下のように与えられている場合、スカラー三重積 a(b×c)\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) を計算せよ。

a=(2,3,1),b=(1,0,4),c=(1,5,2) \mathbf{a} = (2, 3, -1), \quad \mathbf{b} = (1, 0, 4), \quad \mathbf{c} = (-1, 5, 2)

まず、b\mathbf{b} c\mathbf{c}の外積を計算すると、

b×c\mathbf{b} \times \mathbf{c}

=[2×04×51×41×21×50×(1)]= \begin{bmatrix} 2\times 0 – 4\times 5 \\ -1 \times 4 – 1 \times 2 \\ 1\times 5 -0 \times (-1) \\ \end{bmatrix}

=[2065]= \begin{bmatrix} -20 \\ -6 \\ 5 \\ \end{bmatrix}

次に内積を計算する。

a(b×c)=[231][2065]\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})= \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} -20 \\ -6 \\ 5 \\ \end{bmatrix}

=63= -63

2. 行列式を用いる方法

成分の計算結果からスカラー三重積は次のように行列の行列式としても表現できます。

a(b×c)=det(a1a2a3b1b2b3c1c2c3) \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = \text{det}\begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{pmatrix}

この行列式は、ベクトル a\mathbf{a}, b\mathbf{b}, c\mathbf{c} の各成分からなる 3×33 \times 3 行列の行列式です。

3. 平行六面体

平行六面体の体積は次のように表すことができる。

V=a(b×c)V=|\mathbf{a}\cdot ( \mathbf{b} \times \mathbf{c})|

ふゅか
ふゅか
スカラー三重積は平行六面体の体積になります!
はるか
はるか
でも、さっきの計算問題は負の値になった。
ふゅか
ふゅか
図のθ\thetaの範囲によって負の値になってしまうので絶対値をとればOK!

3.1. 平行六面体になる証明

図のように0<θπ20<\theta\leq \dfrac{\pi}{2}とする。底面の面積をAとすると、

A=b×cA=|\mathbf{b} \times \mathbf{c}|

とあらわすことができる。そして、高さをhhとすると、

h=acosθh=|\mathbf{a}|\cos\theta

とあらわすことができる。

したがって、体積VV

V=AhV=Ah

=b×cacosθ=|\mathbf{b} \times \mathbf{c}||\mathbf{a}|\cos\theta

=a(b×c)=\mathbf{a}\cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})

となる。

π2<θπ\dfrac{\pi}{2}<\theta\leq \piのとき、体積は負になるので、

V=a(b×c)V=|\mathbf{a}\cdot( \mathbf{b} \times \mathbf{c})|

となる。

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