複素数の四則演算とは？複素数の計算方法と例題について

はるか

今回は複素数の四則演算について話そう。加算、減算、乗算、除算、全部カバー。

ふゅか

いいね！複素数の演算って、見た目は難しそうだけど、やってみると意外とシンプルなんだよね♪

複素数の四則演算

加算

2つの複素数 \( z_1 = a_1 + b_1i \) と \( z_2 = a_2 + b_2i \) の加算は、次のように行います

減算

同様に、複素数の減算は次のように行います

乗算

複素数の乗算は分配法則を使用します。

\[ z_1 \cdot z_2 = (a_1 + b_1i)(a_2 + b_2i) = a_1a_2 + a_1b_2i + b_1ia_2 + b_1bi^2 \]

ここで、\( i^2 = -1 \) なので、

除算

複素数の除算は、共役な複素数を使って次のように行います

この式の分母は、\( z_2 \) のノルムの二乗になります。

例題

ふゅか

これで四則演算全部カバーできたね！次は例題で実際に計算してみようか♪

例題 1: 複素数の加法

\[ (3 + 2i) + (1 - 5i) = (3 + 1) + (2i - 5i) = 4 - 3i \]

例題 2: 複素数の減法

\[ (4 + 3i) - (2 + 6i) = (4 - 2) + (3i - 6i) = 2 - 3i \]

例題 3: 複素数の乗法

\[ (1 + 2i)(3 - i) = 1 \cdot 3 + 1 \cdot (-i) + 2i \cdot 3 + 2i \cdot (-i) \] \[ = 3 - i + 6i - 2i^2 \]

ここで、\(i^2 = -1\)なので、

\[ = 3 - i + 6i + 2 = 5 + 5i \]

例題 4: 複素数の除法

まず、分母の複素共役より、

\[ \frac{5 + 2i}{1 - i} \times \frac{1 + i}{1 + i} = \frac{(5 + 2i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} \] 分母は \[ (1 - i)(1 + i) = 1^2 - i^2 = 1 - (-1) = 2 \]

分子は \[ (5 + 2i)(1 + i) = 5 \cdot 1 + 5 \cdot i + 2i \cdot 1 + 2i \cdot i = 5 + 5i + 2i + 2i^2 \] \[ = 5 + 5i + 2i - 2 = 3 + 7i \]

したがって、

\[ \frac{5 + 2i}{1 - i} = \frac{3 + 7i}{2} = \frac{3}{2} + \frac{7}{2}i \]