Schurの不等式の証明について
1. Schurの不等式とは
\[ x^r(x – y)(x – z) + y^r(y – z)(y – x) + z^r(z – x)(z – y) \geq 0 \]
等号成立条件は次のようにrによって決まります。
$r > 0$のとき、$x=y=z$または$x,y,z$のうち二つが等しく、残りは0になる。
$r \leq 0$のとき、$x=y=z$となる。
ここで、\( r \) は実数です。この不等式は特に \( r = 1 \) の場合、以下の形になります。
\[ x(x – y)(x – z) + y(y – z)(y – x) + z(z – x)(z – y) \geq 0 \]
\[x^3 + y^3 + z^3 – (x^2y + y^2x + y^2z + z^2y + z^2x + x^2z) + 3xyz \geq 0\]
\[ x^3 + y^3 + z^3 + 3xyz \geq x^2y + y^2z + z^2x + x^2z + y^2x + z^2y \]
$r=2$の場合は、次のようになります。
\[ x^2(x – y)(x – z) + y^2(y – z)(y – x) + z^2(z – x)(z – y) \geq 0 \]
2. 証明
対称性より、一般性を失わないため、\( x \geq y \geq z \geq 0 \) と仮定します。
\[ T_1 = x^r(x – y)(x – z) \]
\[ T_2 = y^r(y – z)(y – x) \]
\[ T_3 = z^r(z – x)(z – y) \]
$T_1$について考える。
\[ T_1 = x^r(x – y)(x – z) \]
\( x \geq y \geq z \geq 0 \) なので、\( x – y \geq 0 \) かつ \( x – z \geq 0 \) です。
\( x^r \geq 0 \) であり、\( x \geq 0 \) かつ \( r > 0 \) です。
したがって、$T_1\geq 0$です。
次に、$T_2$について考える。
\[ T_2 = y^r(y – z)(y – x) \]
\( x \geq y \geq z \geq 0 \) なので、\( y – z \geq 0 \) かつ \( y – x \leq 0 \) 、\( y^r \geq 0 \)です。
したがって、\( T_2 \leq 0 \)となる。
最後に、$T_3$について考える。
\[ T_3 = z^r(z – x)(z – y) \]
\( x \geq y \geq z \geq 0 \) なので、\( z – x \leq 0 \) かつ \( z – y \leq 0 \)、\( z^r \geq 0 \)となる。
したがって、\( T_3 \geq 0 \)となる。
よって、$T_2$が負であるため、$T_2$とほかの項の和が0以上であることを示せればいい。
\( r > 0 \)の場合
合計 \( T_1 + T_2 \) を考えます。
\[ \begin{align*} T_1 + T_2 &= x^r(x – y)(x – z) + y^r(y – z)(y – x) \\ &= (x – y)\{ x^r(x – z) – y^r(y – z) \} \end{align*} \]
\( x – y \geq 0 \) なので、中括弧内の式が非負であることを示す必要があります。
\( x – z \geq y – z \geq 0 \)より、
\[ x^r(x – z) – y^r(y – z) \geq x^r(y – z) – y^r(y – z) = (x^r – y^r)(y – z) \geq 0 \]
\( x^r \geq y^r \)、これは \( x \geq y \) かつ \( r > 0 \) だからです。
\( T_1 + T_2 \geq 0 \)、\( T_3 \geq 0 \)より、
\[ T_1 + T_2 + T_3 \geq 0 \]
\( r \leq 0 \)の場合
合計 \( T_2+T_3 \) を考えます。
\[ \begin{align*} T_2+T_3 &= y^r(y – z)(y – x)+ z^r(z – x)(z – y) \\ &= (y-z)\{ y^r(y-x) – z^r(z-x) \} \end{align*} \]
\( y-z \geq 0 \) なので、中括弧内の式が非負であることを示す必要があります。
\( y-x \geq z-x \)より、
\[ y^r(y-x) – z^r(z-x) \geq y^r(z-x ) – z^r(z-x ) = (y^r – z^r)(z-x ) \geq 0 \]
ここで、$z-x\leq 0$です。また、$y^r – z^r$は$r<0$より、$y^r – z^r\leq 0$です。
\( T_2 + T_3 \geq 0 \)、\( T_1 \geq 0 \)より、
\[ T_1 + T_2 + T_3 \geq 0 \]
