Hölderの不等式（代数）の意味と証明について

1. Hölderの不等式とは？

1.1. 英語と日本語

2. 具体例

この不等式を少しラフな書き方をすると、

数列$\{a_{i}\}_{i=1}^n, \{b_{i}\}_{i=1}^n,\cdots \{z_{i}\}_{i=1}^n$に対して、重みが$w_a,w_b,\cdots,w_z$とあるとき、

$$a_1^{w_a}b_1^{w_b}\cdots z_1^{w_z}+\cdots + a_n^{w_a}b_n^{w_b}\cdots z_n^{w_z} \leq (a_1+a_2+\cdots+a_n)^{w_a}(b_1+b_2+\cdots+b_n)^{w_b}\cdots(z_1+z_2+\cdots z_n)^{w_z}$$

2.1. $m=2, n=2$ の場合:

$$\sum_{j=1}^2 \prod_{i=1}^2 a_{ij}^{w_i} \leq \prod_{i=1}^2 \left( \sum_{j=1}^2 a_{ij} \right)^{w_i}$$

左辺: $$\prod_{i=1}^2 a_{i1}^{w_i} + \prod_{i=1}^2 a_{i2}^{w_i} = a_{11}^{w_1}a_{21}^{w_2} + a_{12}^{w_1}a_{22}^{w_2}$$

右辺: $$\prod_{i=1}^2 \left( \sum_{j=1}^2 a_{ij} \right)^{w_i} = \left( a_{11} + a_{12} \right)^{w_1} \cdot \left( a_{21} + a_{22} \right)^{w_2}$$

不等式: $$a_{11}^{w_1}a_{21}^{w_2} + a_{12}^{w_1}a_{22}^{w_2} \leq \left( a_{11} + a_{12} \right)^{w_1} \cdot \left( a_{21} + a_{22} \right)^{w_2}$$

2.2. $m=1, n=3$ の場合:

$$\sum_{j=1}^1 \prod_{i=1}^3 a_{ij}^{w_i} \leq \prod_{i=1}^3 \left( \sum_{j=1}^1 a_{ij} \right)^{w_i}$$

左辺: $$\prod_{i=1}^3 a_{i1}^{w_i} = a_{11}^{w_1}a_{21}^{w_2}a_{31}^{w_3}$$

右辺: $$\prod_{i=1}^3 \left( \sum_{j=1}^1 a_{ij} \right)^{w_i} = a_{11}^{w_1} \cdot a_{21}^{w_2} \cdot a_{31}^{w_3}$$

不等式: $$a_{11}^{w_1}a_{21}^{w_2}a_{31}^{w_3} \leq a_{11}^{w_1} \cdot a_{21}^{w_2} \cdot a_{31}^{w_3}$$

この場合、$m=1$ のため、左辺と右辺は等しい。

2.3. $m=3, n=2$ の場合:

$$\sum_{j=1}^3 \prod_{i=1}^2 a_{ij}^{w_i} \leq \prod_{i=1}^2 \left( \sum_{j=1}^3 a_{ij} \right)^{w_i}$$

左辺: $$\prod_{i=1}^2 a_{i1}^{w_i} + \prod_{i=1}^2 a_{i2}^{w_i} + \prod_{i=1}^2 a_{i3}^{w_i} = a_{11}^{w_1}a_{21}^{w_2} + a_{12}^{w_1}a_{22}^{w_2} + a_{13}^{w_1}a_{23}^{w_2}$$

右辺: $$\prod_{i=1}^2 \left( \sum_{j=1}^3 a_{ij} \right)^{w_i} = \left( a_{11} + a_{12} + a_{13} \right)^{w_1} \cdot \left( a_{21} + a_{22} + a_{23} \right)^{w_2}$$

不等式: $$a_{11}^{w_1}a_{21}^{w_2} + a_{12}^{w_1}a_{22}^{w_2} + a_{13}^{w_1}a_{23}^{w_2} \leq \left( a_{11} + a_{12} + a_{13} \right)^{w_1} \cdot \left( a_{21} + a_{22} + a_{23} \right)^{w_2}$$

以上が、各具体例の展開になります。

3. Hölderの不等式とコーシー・シュワルツの不等式の関係

コーシー・シュワルツの不等式（の一形）は、次のように表されます。

$$\left(a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_m^2\right) \left(b_1^2 + b_2^2 + \dots + b_m^2\right)\geq (a_1b_1 + a_2b_2 + \dots + a_mb_m)^2$$

この不等式を次の形に変形することも可能です。

$$\sum_{j} a_j b_j\leq \sqrt{\sum_{j} a_j^2} \cdot \sqrt{\sum_{j} b_j^2}$$

ここで、Hölderの不等式を $n = 2$, $w_1 = w_2 = 1/2$ の場合に適用すると、数列 $a_j^2$ と $b_j^2$ を用いた形でコーシー・シュワルツの不等式を導くことができます。

4. Hölderの不等式の証明

Hölderの不等式を証明するためには、「重み付きAM-GM不等式」を用います。この証明を順を追って説明します。

4.1. 証明のための準備

この不等式を証明するためには、重み付きAM-GM不等式を利用します。

4.2. 証明

まず、左辺を効率的に扱うため、以下のように $\alpha_k$ を定義します（$k = 1, 2, \dots, m$）。

$$\alpha_k= \frac{\displaystyle \prod_{i=1}^n a_{ik}^{w_i}} {\displaystyle \sum_{j=1}^m \prod_{i=1}^n a_{ij}^{\lambda_i}}$$

ここで、次の性質が成り立ちます。

1. $\alpha_k \geq 0$（定義より明らか）。
2. $\sum_{k=1}^m \alpha_k = 1$。

この性質により、$\{\alpha_k\}$ を「重み」として、重み付きAM-GM不等式を適用します。

$$\sum_{k=1}^m a_{ij}= \sum_{j=1}^m \alpha_j \cdot \frac{a_{ij}}{\alpha_j}\geq \prod_{j=1}^m \left(\frac{a_{ij}}{\alpha_j}\right)^{\alpha_j}$$

この不等式は、任意$i$について、成り立っています。したがって、各$i$ごとに、$w_i$乗して積をとったとしても、不等号は変わらないので、

$$\prod_{i=1}^n\left(\sum_{k=1}^m a_{ij}\right)^{w_i}\geq \prod_{i=1}^n \left[\prod_{j=1}^m \left(\frac{a_{ij}}{\alpha_j}\right)^{\alpha_j} \right]^{w_i}$$

右辺の不等式を変形すると

$$\begin{align*}\prod_{i=1}^n \left[\prod_{j=1}^m \left(\frac{a_{ij}}{\alpha_j}\right)^{\alpha_j} \right]^{w_i} &=\prod_{j=1}^m\left[ \prod_{i=1}^n \left(\frac{a_{ij}}{\alpha_j}\right)^{w_i} \right]^{\alpha_j} \\ &=\prod_{j=1}^m\left( \frac{1}{\alpha_j}\prod_{i=1}^n {a_{ij}}^{w_i} \right)^{\alpha_j} \end{align*}$$

$\displaystyle\frac{1}{\alpha_j}\prod_{i=1}^n {a_{ij}}^{w_i}$に着目すると

$$\displaystyle\frac{1}{\alpha_j}\prod_{i=1}^n {a_{ij}}^{w_i} = \frac{\displaystyle \sum_{j=1}^m \prod_{i=1}^n a_{ij}^{w_i}}{\displaystyle \prod_{i=1}^n a_{ij}^{w_i}} \prod_{i=1}^n {a_{ij}}^{w_i} = \displaystyle \sum_{j=1}^m \prod_{i=1}^n a_{ij}^{w_i}$$

したがって、添え字が被るのでkを使って、右辺の不等式は

$$\begin{align*}\prod_{i=1}^n \left[\prod_{j=1}^m \left(\frac{a_{ij}}{\alpha_j}\right)^{\alpha_j} \right]^{w_i} &=\prod_{k=1}^m\left( \displaystyle \sum_{j=1}^m \prod_{i=1}^n a_{ij}^{w_i}\right)^{\alpha_k} \\ &=\displaystyle \sum_{j=1}^m \prod_{i=1}^n a_{ij}^{w_i} \end{align*}$$

このことから、

$$\sum_{j=1}^m \prod_{i=1}^n a_{ij}^{w_i}\leq \prod_{i=1}^n \left( \sum_{j=1}^m a_{ij} \right)^{w_i}$$

この不等式において等号が成立するのは、重み付きAM-GM不等式より、

$$\frac{a_{ij}}{\alpha_j}  = \frac{a_{ik}}{\alpha_k}$$

$i,j,k$は添え字の範囲内の任意の整数。

すなわち、数列 $\{a_{ij}\}$ が「互いに定数倍の関係（比例関係）」にあるときに限られます。

5. 重みの部分がわかりにくい人へ

$$\alpha_k= \frac{\displaystyle \prod_{i=1}^n a_{ik}^{\lambda_i}} {\displaystyle \sum_{j=1}^m \prod_{i=1}^n a_{ij}^{\lambda_i}}$$

とありますが、この和が1になるのが少しわかりにくいかもしれません。そんなときは、$M_j=\displaystyle \prod_{i=1}^n a_{ij}^{\lambda_i}$と置き換えて、式をわかりやすくしてみましょう。

$$\alpha_k= \frac{M_k}{\sum_{j=1}^m M_j}$$

となります。このことから、$\sum \alpha_k$を計算すると、明らかに1になりますよね。