重み付きAM-GM不等式の意味と証明について
1. 重み付きAM-GM不等式
重み付きAM-GM不等式（weighted AM-GM inequality）は、非負実数列 \((a_1, a_2, \dots, a_n)\) と、その要素に対応する正の重み（係数）\(w_1, w_2, \dots, w_n\) があり、これらの重みの和が
$$w_1 + w_2 + \cdots + w_n = 1$$
であるときに次の不等式が成り立ちます。
\[ \sum_{i=1}^n w_i a_i \geq \prod_{i=1}^n a_i^{w_i} \]
この不等式を記号を使わずに展開すると、
\[w_1 a_1 + w_2 a_2 + \cdots + w_n a_n \geq a_1^{w_1} a_2^{w_2} \cdots a_n^{w_n}\]
2. 具体例
2.1. \( n = 2, w = \frac{1}{2} \) の場合
重み付きAM-GM不等式を考えるとき、
非負実数 \( a_1 \) と \( a_2 \) に対して、重み \( w_1 = w_2 = \frac{1}{2} \) とすると次の式が成り立ちます。
\[ \sum_{i=1}^2 w_i a_i = w_1 a_1 + w_2 a_2 = \frac{1}{2} a_1 + \frac{1}{2} a_2 \]
\[ \prod_{i=1}^2 a_i^{w_i} = a_1^{\frac{1}{2}} a_2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a_1 a_2} \]
よって、不等式は次のようになります：
\[ \frac{1}{2} a_1 + \frac{1}{2} a_2 \geq \sqrt{a_1 a_2} \]
これはよく知られている 相加相乗平均 です。
2.2. \( n = 3 \) の場合
非負実数 \( a_1, a_2, a_3 \) に正の重み \( w_1, w_2, w_3 \) があり、
重みの和が \( w_1 + w_2 + w_3 = 1 \) であるとき、重み付きAM-GM不等式は次のようになります。
\[ w_1 a_1 + w_2 a_2 + w_3 a_3 \geq a_1^{w_1} a_2^{w_2} a_3^{w_3} \]
2.2.1. 特殊な場合： \( w_1 = w_2 = w_3 = \frac{1}{3} \)
各重みが等しい場合を考えると、
\[ \frac{1}{3} a_1 + \frac{1}{3} a_2 + \frac{1}{3} a_3 \geq \sqrt[3]{a_1 a_2 a_3} \]
これは、3つの数の相加相乗平均を表しています。
2.2.2. 重みが均等でない場合
例えば、重み \( w_1 = \frac{1}{2}, w_2 = \frac{1}{4}, w_3 = \frac{1}{4} \) のとき
\[ \frac{1}{2} a_1 + \frac{1}{4} a_2 + \frac{1}{4} a_3 \geq a_1^{\frac{1}{2}} a_2^{\frac{1}{4}} a_3^{\frac{1}{4}} \]
このように、重み付きAM-GM不等式は、重み \( w_i \) の分布に応じて柔軟に適用できます。
2.3. AM-GM不等式
- 非負実数列 \( a_1, a_2, \dots, a_n \) に対して、
- すべての重みが等しく、\( w_1 = w_2 = \cdots = w_n = \frac{1}{n} \)。
- この場合、重み付きAM-GM不等式は以下の形になります。
\[ \sum_{i=1}^n w_i a_i \geq \prod_{i=1}^n a_i^{w_i} \]
ここで、各重み \( w_i = \frac{1}{n} \) を代入すると、
\[ \frac{1}{n} a_1 + \frac{1}{n} a_2 + \cdots + \frac{1}{n} a_n \geq \left( a_1^{\frac{1}{n}} \cdot a_2^{\frac{1}{n}} \cdot \cdots \cdot a_n^{\frac{1}{n}} \right) \]
したがって、
\[ \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot \cdots \cdot a_n} \]
この不等式の形は、AM-GM不等式になっています。
3. Jensenの不等式を用いた証明
重みの和が1ということで、Jensenの不等式が使えそうなので、凸関数$-\log x$を利用して、Jensenの不等式を利用して証明してみましょう。
\(w_1 + w_2 + \cdots + w_n = 1\) より、Jensenの不等式を \(-\log a_i\) について適用します。
\[ w_1 (-\log a_1) + w_2 (-\log a_2) + \cdots + w_n (-\log a_n) \leq -\log(w_1 a_1 + w_2 a_2 + \cdots + w_n a_n) \]
この式を整理すると、
\[ -w_1 \log a_1 – w_2 \log a_2 – \cdots – w_n \log a_n \leq -\log(w_1 a_1 + w_2 a_2 + \cdots + w_n a_n). \]
両辺に \(-1\) を掛けて符号を反転させると、
\[ w_1 \log a_1 + w_2 \log a_2 + \cdots + w_n \log a_n \geq \log(w_1 a_1 + w_2 a_2 + \cdots + w_n a_n). \]
この両辺を指数関数で変換すると、
\[ \exp(w_1 \log a_1 + w_2 \log a_2 + \cdots + w_n \log a_n) \geq w_1 a_1 + w_2 a_2 + \cdots + w_n a_n. \]
左辺は \((a_1^{w_1})(a_2^{w_2}) \cdots (a_n^{w_n})\)に等しいので、
\[ a_1^{w_1} a_2^{w_2} \cdots a_n^{w_n} \geq w_1 a_1 + w_2 a_2 + \cdots + w_n a_n. \]
3.1. 捕捉
$\exp(w_1 \log a_1 + w_2 \log a_2 + \cdots + w_n \log a_n)$が \((a_1^{w_1})(a_2^{w_2}) \cdots (a_n^{w_n})\)に等しい理由は$\exp(\log x)=x$になるからです。よく使われる、入れ替える対数関数の計算の性質の一つですよね。
