【図解】相加相乗平均の証明と例題について

1. 2変数の相加相乗平均

2. 相加相乗平均の証明

2.1. 計算して相加相乗平均を証明する

まず、$a \geq 0$、$b \geq 0$ であるとき、次の式を考えます。

$$a + b – 2\sqrt{ab} = \left(\sqrt{a} – \sqrt{b}\right)^{2} \geqq 0$$

この結果、次のような不等式が導かれます。

$$\begin{align*} a + b &\geqq 2 \sqrt{ab} \\ \therefore\ \dfrac{a + b}{2} &\geqq \sqrt{ab} \end{align*}$$

$\therefore\dfrac{a+b}{2}\geqq\sqrt{ab}$

また、等号成立条件は

$$\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^{2}= 0$$

より、$a=b$のときである。

3. 相加相乗平均の視覚化

円と線分を使って、相加相乗平均を視覚的に理解する方法を紹介します。

まず、$o$を中心とする円を描きます。視覚的に、$\sqrt{ab}$と$\frac{a+b}{2}$の大小関係がわかります。一方で、この円の直径と垂直に交わる線分が$\sqrt{ab}$である理由を考えてみます。

3.1. 方べきの定理を用いた証明

$x > 0$ のとき、方べきの定理により次の式が成り立ちます。

$$\begin{align*} x^2 &= ab \\ \therefore\ x &= \sqrt{ab} \end{align*}$$

3.2. 三平方の定理を用いた証明

$x > 0$ のとき、三平方の定理を用いて次のように証明します。

$$\begin{align*} x^{2} &= \left( \dfrac{a+b}{2}\right) ^{2}-\left( \dfrac{b-a}{2}\right) ^{2} \\ x^{2} &= \dfrac{a^{2}+2ab+b^{2}-\left( a^{2}-2ab+b^{2}\right) }{4} \\ \Leftrightarrow\ x^{2} &= ab \\ \therefore\ x &= \sqrt{ab} \end{align*}$$

4. 相加相乗平均の例題

4.1. 例題1

相加相乗平均の不等式より、

$$x + \dfrac{9}{x} \geq 2\sqrt{x \cdot \dfrac{9}{x}} = 2\sqrt{9} = 6$$

等号が成立するのは $x = \dfrac{9}{x}$ のとき、すなわち $x^2 = 9$ であり、$x > 0$ より $x = 3$。

したがって、最小値は 6 で、$x = 3$ のときに等号が成立する。

4.2. 例題2

まず、$x > 2$ より $x – 2 > 0$。相加相乗平均の不等式を $x – 2$ と $\dfrac{9}{x – 2}$ に適用すると、

$$2+ (x – 2) + \dfrac{9}{x – 2} \geq 2+2\sqrt{(x – 2) \cdot \dfrac{9}{x – 2}} = 2+2\sqrt{9} = 8$$

等号が成立するのは $x – 2 = \dfrac{9}{x – 2}$ のとき、すなわち $(x – 2)^2 = 9$ であり、$x – 2 > 0$ より $x – 2 = 3$、したがって $x = 5$。

最小値は 8 で、$x = 5$ のときに等号が成立する。

4.3. 例題3

まず、式を展開する

$$\left( x + \dfrac{2}{x} \right) \left( x + \dfrac{1}{x} \right) = x^2 + x \cdot \dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{x} \cdot x + \dfrac{2}{x} \cdot \dfrac{1}{x} = x^2 + 1 + 2 + \dfrac{2}{x^2}$$

まとめると、

$$x^2 + \dfrac{2}{x^2} + 3$$

ここで、$x > 0$ なので相加相乗平均の不等式を $x^2>0$ と $\dfrac{2}{x^2} >0$ に適用すると、

$$x^2 + \dfrac{2}{x^2} \geq 2\sqrt{x^2 \cdot \dfrac{2}{x^2}} = 2\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$$

したがって、

$$x^2 + \dfrac{2}{x^2} + 3 \geq 2\sqrt{2} + 3$$

最小値は $3 + 2\sqrt{2}$ で、等号が成立するのは $x^2 = \dfrac{2}{x^2}$、すなわち $x^4 = 2$ のとき。$x > 0$ より $x = \sqrt[4]{2}$。

4.3.1. 注意

$$\left( x + \dfrac{2}{x} \right) \left( x + \dfrac{1}{x} \right)$$に対して、それぞれの相加相乗平均を考えると、

$$\left( x + \dfrac{2}{x} \right)\geqq 2\sqrt{2}$$

$$\left( x + \dfrac{1}{x} \right)\geqq 2$$

として、最小値はその積

$$\left( x + \dfrac{2}{x} \right) \left( x + \dfrac{1}{x} \right)\geqq 4\sqrt{2}$$

とするのは間違いです。なぜなら、等号成立条件がそれぞれ $x= \sqrt 2, x= 1$となるので、等号が成り立つとき、つまり最小値は$4\sqrt{2}$になることはありません。このことから、等号成立条件をチェックする必要性があることがわかります。

4.4. 例題4

まず、$x > \sqrt{2}$ より、$x^2 – 2 > 0$ となり、分母は定義されます。

変数変換として、$t = \sqrt{x^2 – 2}$ と置きます。すると、$t > 0$ です。

このとき、

$$t^2 = x^2 – 2$$

$$x^2 = t^2 + 2$$

これを元の式に代入すると

$$\dfrac{x^2 + 9}{\sqrt{x^2 – 2}} = \dfrac{(t^2 + 2) + 9}{t} = \dfrac{t^2 + 11}{t} = t + \dfrac{11}{t}$$

したがって、問題は $f(t) = t + \dfrac{11}{t}$ の最小値を求めることに帰着されます。ただし、$t > 0$ です。

相加相乗平均の不等式より、

$$t + \dfrac{11}{t} \geq 2\sqrt{t \cdot \dfrac{11}{t}} = 2\sqrt{11}$$

等号が成立するのは、

$$\begin{align*} t &= \dfrac{11}{t} \\ t^2 &= 11 \\ t &= \sqrt{11} \end{align*}$$

（$t > 0$ より）

元の変数 $x$ に戻すと、

$$\begin{align*} \sqrt{x^2 – 2} &= \sqrt{11} \\ x^2 – 2 &= 11 \\ x^2 &= 13 \\ x &= \sqrt{13} \end{align*}$$

（$x > \sqrt{2}$ より、$x = \sqrt{13}$）

最小値は、

$$f(t) = t + \dfrac{11}{t} = \sqrt{11} + \dfrac{11}{\sqrt{11}} = \sqrt{11} + \sqrt{11} = 2\sqrt{11}$$

したがって、求める最小値は $2\sqrt{11}$ であり、$x = \sqrt{13}$ のときに等号が成立する。

5. 相加相乗平均の一般化

等号成立条件は$a_{1}=a_{2}=a_{3}=\cdots=a_{n}$となる。これはAM-GM不等式とも呼ばれています。