【候補の見つけ方のコツ！】因数定理の証明と例題について
1. 因数定理
因数定理は、代数における多項式の性質に関する定理で、次のように述べられます。
言い換えると、もし \( f(a) = 0 \) であれば、\( f(x) \) は \( (x – a) \) で割り切れるということです。
1.1. 具体例
例えば、多項式 \( f(x) = x^3 – 6x^2 + 11x – 6 \) について考えます。この多項式に対して \( x = 1 \) を代入すると、
\[ f(1) = 1^3 – 6 \times 1^2 + 11 \times 1 – 6 = 0 \]
つまり、\( x = 1 \) は \( f(x) \) の根であるので、因数定理によって \( (x – 1) \) は \( f(x) \) の因数であることがわかります。
この場合、実際に \( f(x) \) を \( (x – 1) \) で割ってみると、商は \( x^2 – 5x + 6 \) となり、完全に割り切れます。したがって、
\[ f(x) = (x – 1)(x^2 – 5x + 6) \]
さらに、\( x^2 – 5x + 6 \) も因数分解できるので、最終的に
\[ f(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3) \] となります。
このように、因数定理を利用することで多項式の因数を見つけやすくなります。
2. 因数定理の候補の見つけ方
2.1. 因数 \( r \) の候補の見つけ方
多項式 \( f(x) \) が次の形で表されているとします。
\[ f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0 \]
ここで、\( a_n \) が最高次の係数、\( a_0 \) が定数項です。定数項と最高次項の係数に注目します。
有理数解の定理より、因数の候補は次のようにして求めます。
$$因数の候補=\dfrac{a_0の約数}{a_nの約数}$$
候補となる \( r \) の値を代入して、\( f(r) = 0 \) を満たすか確認します。もし \( f(r) = 0 \) ならば、\( x – r \) は因数です。
2.2. 具体例
例えば、次の多項式を考えます。
\[ f(x) = 2x^3 + 3x^2 – 8x – 12 \]
- 定数項 \( a_0 = -12 \)
- 最高次の係数 \( a_n = 2 \)
2.3. 定数項の約数
定数項 \( -12 \) の約数は次の通りです。 \[ \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12 \]
2.4. 最高次係数の約数
最高次項の係数 \( 2 \) の約数は次の通りです。 \[ \pm 1, \pm 2 \]
2.5. 候補の \( r \) の値
したがって、候補の \( r \) は次の形になります。
\[ \pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 2, \pm \frac{3}{2}, \pm 3, \pm \frac{6}{2}, \pm 6, \pm \frac{12}{2}, \pm 12 \]
重複を除去すると、
\[ \pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 2, \pm \frac{3}{2}, \pm 3, \pm 6, \pm 12 \]
これらの値を \( f(r) \) に代入して、どれが \( f(r) = 0 \) を満たすか確認していきます。
3. 因数定理の証明
\( f(x) \) を次数 \( n \) の多項式とします。ここで、\( f(a) = 0 \) であることを仮定します。
まず、\( f(x) \) を \( (x – a) \) で割ることを考えます。Q(x)を商、Rをあまりとすると、
\[
f(x) = (x – a)Q(x) + R
\]
\( f(x) \) を \( (x – a) \) で割る際、余りの次数は必ず \( (x – a) \) よりも低い次数でなければなりません。したがって、\( R \) の次数は 0 以下です。つまり、Rは定数項になります。
仮定から \( f(a) = 0 \) です。これを上記の式に代入すると、
\[
f(a) = (a – a)Q(a) + R = 0 + R =R =0
\]
となります。したがって、\( R= 0 \) であることがわかります。
よって、\( f(x) = (x – a)Q(x) \) となり、\( (x – a) \) は \( f(x) \) の因数であることが示されました。
4. 因数定理の例題
\( f(2) \) の計算は次のようになります。
\[ \begin{align*} f(2) &= 2(2)^3 – 3(2)^2 – 8(2) + 12 \\ &= 2(8) – 3(4) – 8(2) + 12 \\ &= 16 – 12 – 16 + 12 \\ &=0 \end{align*}\]
因数定理より、\( f(x) = 2x^3 – 3x^2 – 8x + 12 \) は \( x – 2 \) を因数として持つ。
\( f(-2) \) の計算は次のようになります。
\[ \begin{align*} f(-2) &= 2(-2)^3 – 3(-2)^2 – 8(-2) + 12 \\ &= 2(-8) – 3(4) + 16 + 12 \\ &= -16 – 12 + 16 + 12 \\ &=0 \end{align*}\]
因数定理より、\( f(x) \) は \( x + 2 \) も因数として持ちます。
\( f\left(\frac{3}{2}\right) \) の計算は次のようになります。
\[ \begin{align*} f\left(\frac{3}{2}\right) &= 2\left(\frac{3}{2}\right)^3 – 3\left(\frac{3}{2}\right)^2 – 8\left(\frac{3}{2}\right) + 12 \\ &= 2\left(\frac{27}{8}\right) – 3\left(\frac{9}{4}\right) – 8\left(\frac{3}{2}\right) + 12\\ &= \frac{27}{4} – \frac{27}{4} – 12 + 12 \\ &=0 \end{align*}\]
因数定理より、\( f(x) \) は \( x – \frac{3}{2} \) も因数として持ちます。
したがって、これらはすべて \( f(x) = 2x^3 – 3x^2 – 8x + 12 \) の因数となります。
