二乗の差と不等式の証明の意味と例題について

はるか

二乗差を使うと、不等式の証明が楽になる場合がある。

ふゅか

ルートや絶対値を含む不等式を解くとき、二乗するとスッキリして証明しやすくなるんだよね♪

1. 二乗を利用した不等式の証明

不等式を証明する際、二乗を利用すると証明が簡潔になり、見通しが良くなる場合があります。特に、ルートや絶対値が含まれている不等式では、二乗を活用することで計算が楽になります。

1.1. なぜこの方法が成り立つのか

まず、$A$ と $B$ は 0以上の値であることを仮定します。この条件がかなり重要です。次に、不等式 $A \geqq B$ を平方を使った式に変換します。具体的には、以下のように書き直します。

$$A^2 – B^2$$

もし、この計算結果が

$$A^2 – B^2 \geq 0$$

であるとき、この不等式を差の形に因数分解すると

$$A^2 – B^2 = (A + B)(A – B)\geqq 0$$

$A$ と $B$ はともに 0 以上であると仮定しているため、$A + B \geqq 0$ が成り立ちます。

したがって、積の形の不等式の不等号から、$A – B \geqq 0$が成り立ちます。結果として $A \geq B$ となります。

はるか

因数分解の積の形から不等号がわかる。

2. 不等式の証明の例題

2.1. 例題1：ルートを含む不等式

二乗の差を計算すると

$$\begin{align*} (\sqrt{x} + \sqrt{y})^2 – (\sqrt{x + y})^2 &= x + y + 2\sqrt{xy} – (x + y) \\ &= 2\sqrt{xy} \\ &> 0 \end{align*}$$

$\sqrt{x}+\sqrt{y}$と$\sqrt{x+y}$も正の実数であるので、

$$\sqrt{x} + \sqrt{y} > \sqrt{x + y}$$

が成り立つことが証明されました。

2.2. 例題2：絶対値を含む不等式

二乗の差を計算すると

$$\begin{align*} \left( |x| + \sqrt{y} \right)^2-\left( \sqrt{x^2 + y} \right)^2 \\ &= x^2 + 2|x|\sqrt{y} + y- x^2 – y \\ &=2|x|\sqrt{y}> 0 \\ \end{align*}$$

$|x|+\sqrt{y}$と$\sqrt{x^2+y}$は正の実数であるので、

$$|x| + \sqrt{y} > \sqrt{x^2 + y}$$

はるか

この不等式、例題1の$x$を$x^2$にしただけだな。

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