シルベスターの数列の具体例・性質・漸化式について

はるか

シルベスターの数列って知ってる？

ふゅか

漸化式がいろんな形になるから面白いよね！

1. シルベスターの数列とは

この漸化式によって、シルベスターの数列（Sylvester’s sequence） $a_n$ が以下のように計算されます。

1. $a_1 = 2$
2. $a_2 = 2^2 – 2 + 1 = 4 – 2 + 1 = 3$
3. $a_3 = 3^2 – 3 + 1 = 9 – 3 + 1 = 7$
4. $a_4 = 7^2 – 7 + 1 = 49 – 7 + 1 = 43$
5. $a_5 = 43^2 – 43 + 1 = 1849 – 43 + 1 = 1807$

このように、次の項を計算することができます。

2. シルベスターの数列の性質

2.1. 漸化式が積の形になる

はるか

実は、この数列の漸化式、積の形にもできるんだ。

ふゅか

うん、確かに！$a_{n+1} = \prod_{k=1}^{n} a_k + 1$ っていう形だよね。

数学的帰納法を利用して証明します。

$n=1$のとき、次の項 $a_2$ は次のようになります。

$$a_2 = a_1^2 – a_1 + 1 = 2^2 – 2 + 1 = 4 – 2 + 1 = 3$$

また、漸化式より、$a_2$は次のようになります。

$$a_2 = 2^2 – 2 + 1 = 4 – 2 + 1 = 3$$

$n = k$ のときに $a_{k+1} = \prod_{i=1}^{k} a_i+ 1$ であると仮定します。

次に、$n = k+1$ のときの式を考えます。$a_{k+2}$ は以下のように表されます。

$$a_{k+2} = a_{k+1}^2 – a_{k+1} + 1$$

ここで、仮定により $a_{k+1} = \prod_{i=1}^{k} a_i + 1$ ですので、$a_{k+2}$ を次のようになります。

$$a_{k+2} = \left(\prod_{i=1}^{k} a_i + 1\right)^2 – \left(\prod_{i=1}^{k} a_i + 1\right) + 1$$

$$= \left(\prod_{i=1}^{k} a_i\right)^2 + 2\prod_{i=1}^{k} a_i + 1 – \prod_{i=1}^{k} a_i – 1 + 1$$

$$= \prod_{i=1}^{k} a_i \times \left(\prod_{i=1}^{k} a_i + 1\right) + 1$$

となります。$a_{k+1} = \prod_{i=1}^{k} a_i+ 1$より、

$$a_{k+2} = \prod_{i=1}^{k} a_i \times a_{k+1} + 1$$

$$\therefore a_{k+2} = \prod_{i=1}^{k+1} a_i + 1$$

となります。

よって、$n = k+1$ の場合にも、与えられた漸化式 が成り立ちます。したがって、数学的帰納法により、与えられた数列が次の形で表されることが証明されました。

$$a_{n+1} = \prod_{k=1}^{n} a_k + 1$$

2.2. 逆数の和

ここで、$\prod_{k=1}^{n} a_k$ は $a_1 \times a_2 \times \dots \times a_n$ を表す積の記号です。

数学的帰納法を利用して証明します。

まず、初項 $n = 1$ の場合を考えます。この場合、$a_1=2$より、式は次のようになります。

$$\frac{1}{a_1} = 1 – \frac{1}{a_1}$$

この等式は明らかに成り立ちます。

次に、$n=k$ に対して次の等式が成り立つと仮定します。

$$\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \dots + \frac{1}{a_k} = 1 – \frac{1}{\prod_{i=1}^{k} a_i}$$

$n=k+1$ のとき、式は次のようになります。

$$\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \dots + \frac{1}{a_k} + \frac{1}{a_{k+1}}$$

仮定より、次のように変形します。

$$= \left(1 – \frac{1}{\prod_{i=1}^{k} a_i}\right) + \frac{1}{a_{k+1}}$$

次に、先ほど示したシルベスター数列の性質 $a_{k+1} = \prod_{i=1}^{k} a_i + 1$ を利用します。これにより、

$$= 1 – \frac{1}{\displaystyle\prod_{i=1}^{k} a_i} + \frac{1}{\displaystyle\prod_{i=1}^{k} a_i + 1}$$

$$= 1 + \frac{-\displaystyle\prod_{i=1}^{k} a_i – 1 + \displaystyle\prod_{i=1}^{k} a_i }{\displaystyle\prod_{i=1}^{k+1} a_i}$$

$$= 1 – \frac{1}{\displaystyle\prod_{i=1}^{k+1} a_i}$$

これにより、$n=k+1$ でも等式が成り立つことが示されました。

したがって、数学的帰納法により次の等式が成り立つことが証明されました。

$$\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \dots + \frac{1}{a_n} = 1 – \frac{1}{\displaystyle\prod_{k=1}^{n} a_k}$$

はるか

逆数の和が $1 – \frac{1}{\prod_{k=1}^{n} a_k}$ にもなる。

2.3. エジプト分数

はるか

さらに、この数列はエジプト分数の組み合わせにも使われる。

ふゅか

そうそう！自然数の組み合わせで、和が1未満で最大の値を取るとき、それがシルベスターの数列になるんだよね！例えば、$a_1 = 2$, $a_2 = 3$のときとか。

以下に、具体的な例を挙げて解説します。

$n = 2$ の場合
$$\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} < 1$$
この条件を満たす自然数 $a_1 < a_2$ を求めると、最大値は $a_1 = 2$, $a_2 = 3$ のときです。このときの和は
$$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}$$
となります。

$n = 3$ の場合
$$\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \frac{1}{a_3} < 1$$
この条件を満たす自然数 $a_1 < a_2 < a_3$ を求めると、最大値は $a_1 = 2$, $a_2 = 3$, $a_3 = 7$ のときです。このときの和は
$$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{7} = \frac{41}{42}$$
となります。