不等式
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イェンセン（Jensen）の不等式の意味と証明について
イェンセンの不等式（凸不等式） 数式の意味するところ 左辺は、加重平均に凸関数 \( f \) を適用した結果です。 右辺は、各点に凸関数 \( f \) を適用した結果の加重平均です。 凸関数では、 …
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ヤングの不等式（Young's inequality）の証明と意味について
ヤングの不等式とは？ ここで、\(p, q > 1\) の間には次の関係が成り立ちます。 \[ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 \] ヤングの不等式の特別な場合 特に …
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アーベルの不等式の意味と証明について
アーベルの不等式 アーベルの不等式は、数列の単調性と部分和の性質を組み合わせたものです。 特殊な場合 この形は、数列 \( b_n \) の最初の値（最大値）のみに依存していることを表しています。 ア …
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数直線で考える二次不等式の解法について
二次不等式 二次不等式とは、二次の項を含む次のような不等式のことを言います。 ここで \(a\)、\(b\)、\(c\) は定数です。また、$a\neq 0$です。 不等式の解き方 ０以上または0より …
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【巡回不等式】シャピロの不等式について
シャピロの不等式 ここで、添字は循環的に扱われ、例えば \( a_{n+1} = a_1 \)、 \( a_{n+2} = a_2 \) となります。シャピロの不等式は、シャピロの巡回不等式や巡回不等 …
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【一次不等式】連立不等式の解き方と3つの例題について
一次不等式 一次不等式は、一次方程式と似ていますが、「=」の代わりに「<」「>」「$\geqq$」「$\leqq$」などの不等号を用います。次のような形です。 \[ ax + b < …
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nesbittの不等式と7つの証明について
nesbittの不等式 例 具体的な値を代入して確認してみましょう。仮に \( a = 2, b = 3, c = 4 \) とすると、 \[ \frac{2}{3 + 4} + \frac{3}{2 …
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【不等式テクニック】三角形とRavi変換の考え方と例題について
Ravi変換 この変換を行うと、三角形の性質に基づく制約が自動的に満たされるため、三角形に関連する不等式の証明が簡単になることが多いです。 日本語では、Ravi変換と呼びますが、英語だとRavi tr …