ケイリー変換の定義・例題について
ケイリー変換とは
複素数におけるケイリー変換（Cayley transform）は、複素平面上の一つの変換を表します。
\[ f(z) = \frac{z - i}{z + i} \]
ここで、\( z \) は複素数です。
例題
例題1:z=1のとき
与えられた実数 \(z = 1 \) にケイリー変換を適用します。
\[ f(1) = \frac{1 - i}{1 + i} \]
分母を有理化します。
\[ f(1) = \frac{1 - i}{1 + i} \times \frac{1 - i}{1 - i} = \frac{(1 - i)^2}{1^2 - i^2} = \frac{1 - 2i + i^2}{1 + 1} = \frac{1 - 2i - 1}{2} = \frac{-2i}{2} = -i \]
したがって、\(z = 1 \) のケイリー変換の像は \( -i \) です。
例題2:z=-1のとき
与えられた実数 \( z = -1 \) にケイリー変換を適用します。
\[ f(-1) = \frac{-1 - i}{-1 + i} \]
分母を有理化します。
\[ f(-1) = \frac{-1 - i}{-1 + i} \times \frac{-1 - i}{-1 - i} = \frac{(-1 - i)^2}{(-1)^2 - i^2} = \frac{1 + 2i + i^2}{1 + 1} = \frac{1 + 2i - 1}{2} = \frac{2i}{2} = i \]
したがって、\( z = -1 \) のケイリー変換の像は \( i \) です。
例題3:z=aのとき
一般の実数 \( z = a \) に対してケイリー変換を適用します。
\[ f(a) = \frac{a - i}{a + i} \]
分母を有理化します。
\[ f(a) = \frac{a - i}{a + i} \times \frac{a - i}{a - i} = \frac{(a - i)^2}{a^2 - (-i)^2} = \frac{a^2 - 2ai + i^2}{a^2 + 1} = \frac{a^2 - 2ai - 1}{a^2 + 1} \]
したがって、像は次のように表されます。
\[ f(a) = \frac{a^2 - 1}{a^2 + 1} - i\frac{2a}{a^2 + 1} \]
