ケイリー変換の定義・例題について

はるか

ケイリー変換は、複素数を変換する方法。

ふゅか

そうね！$f(z) = \dfrac{z – i}{z + i}$で計算できるね！

1. ケイリー変換とは

複素数におけるケイリー変換（Cayley transform）は、複素平面上の一つの変換を表します。

ここで、\( z \) は複素数です。

2. 例題

2.1. 例題1:z=1のとき

与えられた実数 \(z = 1 \) にケイリー変換を適用します。

\[ f(1) = \frac{1 – i}{1 + i} \]

分母を有理化します。

\[ f(1) = \frac{1 – i}{1 + i} \times \frac{1 – i}{1 – i} = \frac{(1 – i)^2}{1^2 – i^2} = \frac{1 – 2i + i^2}{1 + 1} = \frac{1 – 2i – 1}{2} = \frac{-2i}{2} = -i \]

したがって、\(z = 1 \) のケイリー変換の像は \( -i \) です。

2.2. 例題2:z=-1のとき

与えられた実数 \( z = -1 \) にケイリー変換を適用します。

\[ f(-1) = \frac{-1 – i}{-1 + i} \]

分母を有理化します。

\[ f(-1) = \frac{-1 – i}{-1 + i} \times \frac{-1 – i}{-1 – i} = \frac{(-1 – i)^2}{(-1)^2 – i^2} = \frac{1 + 2i + i^2}{1 + 1} = \frac{1 + 2i – 1}{2} = \frac{2i}{2} = i \]

したがって、\( z = -1 \) のケイリー変換の像は \( i \) です。

2.3. 例題3:z=aのとき

一般の実数 \( z = a \) に対してケイリー変換を適用します。

\[ f(a) = \frac{a – i}{a + i} \]

分母を有理化します。

\[ f(a) = \frac{a – i}{a + i} \times \frac{a – i}{a – i} = \frac{(a – i)^2}{a^2 – (-i)^2} = \frac{a^2 – 2ai + i^2}{a^2 + 1} = \frac{a^2 – 2ai – 1}{a^2 + 1} \]

したがって、像は次のように表されます。

\[ f(a) = \frac{a^2 – 1}{a^2 + 1} – i\frac{2a}{a^2 + 1} \]