円の方程式の定義・一般形・性質・媒介変数表示について

1. 円の方程式

1.1. 円の方程式の導出

点 $P(x, y)$ と、円の中心 $A(a, b)$ の距離が半径 $r$ であるとします。このとき、点 $P$ は円の周上にあるため、次の関係が成り立ちます。

$$PA = r$$

これは、点 $P$ と中心 $A$ の距離が常に $r$ であることを意味します。ここで、点 $P$ と $A$ の間の距離は次のように表せます。

$$PA^2 = r^2$$

つまり、

$$(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2$$

この式は、点 $P(x, y)$ が中心 $A(a, b)$、半径 $r$ の円の方程式です。

このようにして、円の方程式が導出されました。

2. 円の方程式の一般形

2.1. 一般形の導出

$(a, b)$ は円の中心、$r$ は半径の円の方程式は次のようになります。

$$(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2$$

円の方程式を展開すると、

$$(x^2 – 2ax + a^2) + (y^2 – 2by + b^2) = r^2$$

$$x^2 + y^2 – 2ax – 2by + a^2 + b^2 = r^2$$

$$x^2 + y^2 – 2ax – 2by + (a^2 + b^2 – r^2) = 0$$

ここで、一般形 $$x^2 + y^2 + lx + my + n = 0$$ に対応させるために、次のように置き換える。

• $l = -2a$
• $m = -2b$
• $n = a^2 + b^2 – r^2$

このことから、一般形を導出できる。

2.2. 条件の導出

$x,y$に関して平方完成を行うと、

$\left(x+\dfrac{l}{2}\right)^{2}-\dfrac{l^2}{4}+\left(y+\dfrac{m}{2}\right)^{2}-\dfrac{m^2}{4}+n=0$

$\therefore\left(x+\dfrac{l}{2}\right)^{2}+\left(y+\dfrac{m}{2}\right)^{2}=\dfrac{l^2+m^2-4n}{4}$

となり、左辺は二乗の和だから、

$\left(x+\dfrac{l}{2}\right)^{2}+\left(x+\dfrac{m}{2}\right)^{2}>0$

左辺が正であるため、右辺も正であることがわかる。したがって、

$\dfrac{l^2+m^2-4n}{4}>0$

2.3. 条件の場合分け

$\dfrac{l^2+m^2-4n}{4}>0$のとき、

中心$(-\dfrac{l}{2},-\dfrac{m}{2})$、半径$\dfrac{\sqrt{l^{2}+m^{2}-4n}}{2}$の円を表す。

$\dfrac{l^2+m^2-4n}{4}=0$のとき、

$(-\dfrac{l}{2},-\dfrac{m}{2})$の点を表す。

$\dfrac{l^2+m^2-4n}{4}<0$のとき、

表す図形はなし。

3. 円の方程式の性質

3.1. 媒介変数表示

媒介変数表示された $x$ と $y$ を、距離 $PA^2$ に代入すると、次のようになります。

$$PA^2 = \left( r\cos \theta + a – a \right)^2 + \left( r\sin \theta + b – b \right)^2$$

まず、$a$ と $b$ が消えるため、次のように簡単化できます。

$$PA^2 = r^2\cos^2 \theta + r^2\sin^2 \theta$$

さらに、三角関数の関係式 $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ を用いると、

$$PA^2 = r^2 \left( \cos^2 \theta + \sin^2 \theta \right) = r^2$$

3.2. 単位円

特に、中心が原点 $(a = 0, b = 0)$ で、半径が 1 ($r = 1$) の場合、この円は単位円と呼ばれます。単位円の方程式は次のように表せます。

$$x^2 + y^2 = 1$$

また、単位円において、媒介変数表示は次のように記述できます。

$$x = \cos \theta, \quad y = \sin \theta$$