【面積比】重心が三角形の面積を1:1:1に分けることの証明について

はるか

重心。中線が3本交わる点のこと。

ふゅか

そうそう！三角形の各頂点から対辺の中点に引いた線、あれが重心を決めるんだよね。

1. 重心とは

まず、重心について復習しましょう。三角形の重心は、3本の中線が交わる一点です。中線とは、三角形の各頂点からその対辺の中点に引かれた線のことです。この3本の中線は必ず一点で交わり、その交点が重心となります。

2. 重心が面積をどう分けるのか？

重心と頂点ABCで作る三角形は、三角形ABCを3つに分割します。このとき、以下の特徴があります。

ふゅか

その3つの三角形、面積が全部同じになるんだよね！だから1:1:1の比になるんだ。

3. なぜ面積比が1:1:1になるのか？

3.1. 図形の性質を利用した証明

三角形ABCの面積をS、重心をGとする。また、線分 $AG$ を延長して、辺 $BC$ と交わる点を $D$ とします。

三角形 $ABD$ の面積は点 $D$ が辺 $BC$ の中点であることから

$$S_{\text{三角形ABD}}=\frac{1}{2}S$$

次に、線分 $AD$ を重心 $G$ が $2:1$ に内分しているため、三角形 $ABG$ の面積は三角形 $ABD$ の面積の $\frac{2}{3}$ となります。

$$\begin{align*} S_{\text{三角形ABG}} &= \frac{2}{3}S_{\text{三角形ABD}} \\ &= \frac{2}{3} \times \frac{1}{2}S \\ &= \frac{1}{3}S \end{align*}$$

同様に、三角形 $ACG$ 、三角形 $BCG$ の面積も同じように計算でき、三角形の面積比が次のように求まります。

$$S_{\text{三角形ACG}} : S_{\text{三角形BCG}} : S_{\text{三角形ABG}} =\frac{1}{3}S: \frac{1}{3}S :\frac{1}{3}S = 1:1:1$$

3.2. 座標を利用した証明

ふゅか

原点を重心にして計算するのがポイントだね♪

重心 $G$ を原点とする三角形を考えます。

この三角形の頂点を $A(a_x, a_y)$, $B(b_x, b_y)$, $C(c_x, c_y)$ とします。重心 $G$ が原点にあるため、重心の座標を $(0, 0)$ として計算を進めます。サラスの公式より、三角形 $ABG$ と三角形 $ACG$ の面積は

$$S_{\text{三角形ABG}}=\frac{1}{2}|a_xb_y-a_yb_x|$$

$$S_{\text{三角形ACG}}=\frac{1}{2}|a_xc_y-a_yc_x|$$

重心の座標は$(\frac{a_x+b_x+c_x}{3},\frac{a_y+b_y+c_y}{3})$であり、原点であることから

$$\left(\frac{a_x+b_x+c_x}{3},\frac{a_y+b_y+c_y}{3}\right)=(0,0)$$

この式から、頂点 $B$ の座標 $b_x$、$b_y$ を次のように求めることができます。

$$b_x = -a_x – c_x, \quad b_y = -a_y – c_y$$

ここで、三三角形 $ABG$ の面積式にこの $b_x$、$b_y$ の値を代入して、計算すると

$$\begin{align*} S_{\text{三角形ABG}} &= \frac{1}{2} |a_x(-a_y – c_y) – a_y(-a_x – c_x)| \\ &= \frac{1}{2} | -a_x a_y – a_x c_y + a_y a_x + a_y c_x | \\ &= \frac{1}{2} | -a_x c_y + a_y c_x | \\ &= \frac{1}{2} | a_x c_y – a_y c_x | \\ &=S_{\text{三角形ACG}} \end{align*}$$

三角形 $ABG$ の面積と $ACG$ の面積が等しいことがわかります。これを同様に計算してくことで、

$$S_{\text{三角形AGC}}=S_{\text{三角形ACG}} =S_{\text{三角形ABG}}$$

したがって、三角形 $ABG$、$ACG$、$AGC$ の面積比は次のようになります。

$$S_{\text{三角形AGC}} : S_{\text{三角形ACG}} : S_{\text{三角形ABG}} =1:1:1$$

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