対数方程式とは?解き方や4つの例題について

はるか
はるか
対数方程式って知ってる?
ふゅか
ふゅか
もちろん!対数を含む方程式のことだよね♪
はるか
はるか
うん、そんな感じ。

1. 対数方程式

対数方程式とは、対数を含む方程式のことです。

例えば、ログを含む方程式は

log2(x1)=3\log_2 (x-1)=3

などがあります。

2. 基本的な解法

対数方程式を解く際の基本的な手順は次の通りです。

  1. 変数の範囲を確認。
  2. 底を揃える。
  3. 必要であれば、置換。
ふゅか
ふゅか
まず対数方程式を解くときは、変数の範囲をちゃんと確認することが大事だよね。
はるか
はるか
そう。範囲を間違えると、解が不適切になるから。

3. 対数方程式の例題

3.1. 例題1

log3(x+1)=2 \log_3 (x + 1) = 2

真数条件より、x+1>0x+1>0となる。

log39=2\log_3 9 = 2より、

log3(x+1)=log39 \log_3 (x + 1) = \log_3 9

真数が等しいので、

x=91=8 x = 9 – 1 = 8

3.2. 例題2

log2x+log2(x3)=3 \log_2 x + \log_2 (x – 3) = 3

真数条件より、x>0x>0かつx3>0x – 3>0となるので、x>3x>3である。

対数の性質より

log2x(x3)=3 \log_2 x (x – 3) = 3

log28=3\log_2 8= 3より、

log2x(x3)=log28 \log_2 x (x – 3) = \log_2 8

真数が等しいので、

x23x8=0 x^2 – 3x – 8 = 0

因数分解すると、

(x4)(x+2)=0 (x – 4)(x + 2) = 0

よって、x=4x = 4 または x=2x = -2 ですが、x>3x>3より、x=4x = 4 が解です。

3.3. 例題3:置換

(log3x)3=log3x2(\log_3 x)^3 = \log_3 x^2

log3x2=2log3x\log_3 x^2=2\log_3 xより、log3x=t\log_3 x=tとすると、与式は次のように置き換えることができる。

t3=2tt(t22) =0t(t2)(t+2) =0\begin{align*}& t^3 = 2t \\ & t(t^2-2)  =0 \\ & t(t-\sqrt{2})(t+\sqrt{2})  =0 \\ \end{align*}

t=0,2,2t=0,\sqrt{2},-\sqrt{2}であることがわかりました。

真数条件はx>0x > 0であるため、求めるttの値からxxを考えます。

t=0t = 0のとき、

x=30=1 x = 3^0 = 1

t=2t = \sqrt{2}のとき、

x=32 x = 3^{\sqrt{2}}

t=2t = -\sqrt{2}のとき、

x=32 x = 3^{-\sqrt{2}}

xxの値はx=1,32,32x = 1, 3^{\sqrt{2}}, 3^{-\sqrt{2}}です。

3.4. 例題4

logx34=log2(x3)2\log_{x-3} 4 = \log_2 (x-3)^2

底がx3x-3であるので、x>3x>3かつx31x-3 \neq 1となる。また、真数条件より、(x3)2>0(x-3)^2>0であるので、x3x\neq 3

まとめると、x>3x>3かつx4x\neq4である。

対数の性質より、

logx34=2log2(x3) \log_{x-3} 4 = 2\log_2 (x-3)

ここで底を2に変換すると、

log24log2(x3)=2log2(x3) \frac{\log_2 4}{\log_2 (x-3)} = 2\log_2 (x-3)

log24=2\log_2 4 = 2 より、

2log2(x3)=2log2(x3) \frac{2}{\log_2 (x-3)} = 2\log_2 (x-3)

両辺に log2(x3)\log_2 (x-3) を掛けると、

2=2(log2(x3))2 2 = 2 (\log_2 (x-3))^2

両辺を2で割ると、

1=(log2(x3))2 1 = (\log_2 (x-3))^2

両辺の平方根を取ると、

log2(x3)=±1 \log_2 (x-3) = \pm 1

x>3x>3かつx4x\neq4であることに注意して、それぞれの場合について解いていきます。

ケース 1: log2(x3)=1\log_2 (x-3) = 1

x3=21=2 x-3 = 2^1 = 2

x=5 x = 5

ケース 2: log2(x3)=1\log_2 (x-3) = -1

x3=21=12 x-3 = 2^{-1} = \frac{1}{2}

x=3+12=72 x = 3 + \frac{1}{2} = \frac{7}{2}

以上より、

x=5またはx=72 x = 5 \quad \text{または} \quad x = \frac{7}{2}

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