はるか
ふゅか
はるか
1. 対数方程式
例えば、ログを含む方程式は
log2(x−1)=3
などがあります。
2. 基本的な解法
対数方程式を解く際の基本的な手順は次の通りです。
- 変数の範囲を確認。
- 底を揃える。
- 必要であれば、置換。
ふゅか
まず対数方程式を解くときは、変数の範囲をちゃんと確認することが大事だよね。
はるか
3. 対数方程式の例題
3.1. 例題1
log3(x+1)=2
真数条件より、x+1>0となる。
log39=2より、
log3(x+1)=log39
真数が等しいので、
x=9–1=8
3.2. 例題2
log2x+log2(x–3)=3
真数条件より、x>0かつx–3>0となるので、x>3である。
対数の性質より
log2x(x–3)=3
log28=3より、
log2x(x–3)=log28
真数が等しいので、
x2–3x–8=0
因数分解すると、
(x–4)(x+2)=0
よって、x=4 または x=−2 ですが、x>3より、x=4 が解です。
3.3. 例題3:置換
(log3x)3=log3x2
log3x2=2log3xより、log3x=tとすると、与式は次のように置き換えることができる。
t3=2tt(t2−2) =0t(t−2)(t+2) =0
t=0,2,−2であることがわかりました。
真数条件はx>0であるため、求めるtの値からxを考えます。
t=0のとき、
x=30=1
t=2のとき、
x=32
t=−2のとき、
x=3−2
xの値はx=1,32,3−2です。
3.4. 例題4
logx−34=log2(x−3)2
底がx−3であるので、x>3かつx−3=1となる。また、真数条件より、(x−3)2>0であるので、x=3。
まとめると、x>3かつx=4である。
対数の性質より、
logx−34=2log2(x−3)
ここで底を2に変換すると、
log2(x−3)log24=2log2(x−3)
log24=2 より、
log2(x−3)2=2log2(x−3)
両辺に log2(x−3) を掛けると、
2=2(log2(x−3))2
両辺を2で割ると、
1=(log2(x−3))2
両辺の平方根を取ると、
log2(x−3)=±1
x>3かつx=4であることに注意して、それぞれの場合について解いていきます。
ケース 1: log2(x−3)=1
x−3=21=2
x=5
ケース 2: log2(x−3)=−1
x−3=2−1=21
x=3+21=27
以上より、
x=5またはx=27