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集合
高校数学
更新:2024/12/09

集合と要素の意味と種類、例題について

ふゅか
ふゅか
集合って知ってる？
はるか
はるか
知ってる。条件で分けたものの集まり。
目次

1. 集合と要素

集合（しゅうごう）とは、「ある条件を満たすものの集まり」を指します。たとえば、「5以下の自然数の集まり」や「赤い色をした果物の集まり」などが集合として考えられます。

1.1. 集合の基本

集合を表現する際には、波括弧 {} を使うのが一般的です。たとえば、「1, 2, 3」という要素を持つ集合は次のように書きます。

A={1,2,3} A = \{1, 2, 3\}

ここで、「集合」はグループ全体を、「要素（ようそ）」はそのグループ内の1つ1つの要素を指します。たとえば、上記の集合 AA では、11 や 22 が要素です。

ふゅか
ふゅか
集合を書くときは波括弧「{ }」を使うよね！
はるか
はるか
「1, 2, 3」の集合なら A={1,2,3}。

1.2. 集合の要素

要素とは、集合を構成する具体的な「中身」です。要素が集合に含まれるかどうかを確認するときは、次のような記号を使います。

1.3. 要素が集合に含まれる場合

要素 xx が集合 AA に含まれる場合、次のように表します。

x∈A x \in A

たとえば、集合 A={1,2,3}A = \{1, 2, 3\} において、11 は集合 AA の要素なので、1∈A1 \in A と書きます。

1.4. 要素が集合に含まれない場合

要素 xx が集合 AA に含まれない場合は次のように表します。

x∉A x \notin A

たとえば、44 は集合 A={1,2,3}A = \{1, 2, 3\} の要素ではないので、4∉A4 \notin A となります。

1.5. 集合を使う利点

集合の考え方を利用すると、物事を整理して理解しやすくなります。たとえば、学校の生徒を「運動部に所属している生徒」と「文化部に所属している生徒」のように分けることで、グループ分けが明確になり、分析が容易になります。

また、集合の概念は数学だけでなく、データベースやプログラミングなどさまざまな分野で活用されています。

2. 集合の種類

ふゅか
ふゅか
ところで、空集合って何？名前からして何もない感じだけど…。
はるか
はるか
そう。空集合は要素が一つもない集合。記号は ∅ または {}。

2.1. 空集合（くうしゅうごう）

要素が1つも含まれていない集合を空集合といいます。空集合は次のように表します。

∅または{} \emptyset \quad \text{または} \quad \{\}

たとえば、「20より小さくて30より大きい自然数の集合」は空集合になります。なぜなら、そのような数字は存在しないからです。

2.2. 和集合（わしゅうごう）

2つの集合 A A と B B の和集合は、A A と B B のいずれかに属する要素をすべて含む集合です。
次のように表します。

A∪B={x∣x∈A または x∈B} A \cup B = \{ x \mid x \in A \text{ または } x \in B \}

2.3. 積集合（せきしゅうごう）

2つの集合 A A と B B の積集合は、A A と B B の両方に属する要素のみからなる集合です。
次のように表します。

A∩B={x∣x∈A かつ x∈B} A \cap B = \{ x \mid x \in A \text{ かつ } x \in B \}

2.4. 補集合（ほしゅうごう）

ある集合 U U を全体集合とすると、集合 A A の補集合は、U U に属し、かつ A A に属さない要素からなる集合です。
次のように表します。

Ac={x∣x∈U かつ x∉A} A^c = \{ x \mid x \in U \text{ かつ } x \notin A \}

2.5. 差集合（さしゅうごう）

2つの集合 A A と B B において、A A に属し、かつ B B に属さない要素からなる集合を差集合といいます。
次のように表します。

A–B={x∣x∈A かつ x∉B} A – B = \{ x \mid x \in A \text{ かつ } x \notin B \}

3. 集合の例題

3.1. 例題 1: 集合の要素を確認しよう

集合 A={2,4,6,8,10} A = \{2, 4, 6, 8, 10\} があります。

  1. 4∈A 4 \in A は正しいですか？
  2. 5∈A 5 \in A は正しいですか？
  3. 集合 A A に含まれる要素をすべて挙げてください。
  1. 4∈A 4 \in A は正しい。なぜなら、4 は集合 A A に含まれるからです。
  2. 5∈A 5 \in A は正しくない。5 は集合 A A の要素ではありません。
  3. 集合 A A の要素は 2,4,6,8,10 2, 4, 6, 8, 10 です。

3.2. 例題 2: 集合の表記

次の説明に基づいて集合を作成しなさい。

  1. 「10 以下の自然数で、3 の倍数」
  2. 「5 より大きく 12 以下の整数」
  3. 「0 と 1 のみを要素とする集合」
  1. 集合 B={3,6,9} B = \{3, 6, 9\}
  2. 集合 C={6,7,8,9,10,11,12} C = \{6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}
  3. 集合 D={0,1} D = \{0, 1\}

3.3. 例題 3: 要素を含む条件

次の要素がそれぞれの集合に含まれるかどうかを答えてください。

  1. 集合 H={x∣xは1以上10以下の偶数} H = \{x \mid x は 1 以上 10 以下の偶数\} に 7 7 は含まれますか？
  2. 集合 I={x∣xは0以上の整数で、5の倍数} I = \{x \mid x は 0 以上の整数で、5 の倍数\} に 15 15 は含まれますか？
  3. 集合 J={a,b,c,d} J = \{a, b, c, d\} に e e は含まれますか？
  1. 7 7 は含まれません（7 は奇数だから）。
  2. 15 15 は含まれます（15 は 5 の倍数だから）。
  3. e e は含まれません（J J の要素に e e は存在しない）。

3.4. 例題 4: 空集合の確認

次の条件を満たす集合において、それぞれ空集合になるかどうかを答えなさい。

  1. 集合 K={x∣xは0以下の自然数} K = \{x \mid x は 0 以下の自然数\}
  2. 集合 L={x∣xは偶数で、奇数でもある} L = \{x \mid x は偶数で、奇数でもある\}
  3. 集合 M={x∣xは5以上5以下の整数} M = \{x \mid x は 5 以上 5 以下の整数\}
  1. K K は空集合です（自然数は正の整数なので、0 以下のものはありません）。
  2. L L は空集合です（偶数と奇数を同時に満たす数はありません）。
  3. M M は空集合ではありません（M={5} M = \{5\} となります）。
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