冪零行列の具体例と性質について解説

はるか

冪零行列…うっ漢字が。

ふゅか

これは、「べきぜろぎょうれつ」と読むのよ！

1. 冪零行列とは

冪零行列（べきれいぎょうれつ、nilpotent matrix）とは、ある整数 $k$ に対して、その行列を $k$ 回自乗（自分自身を掛ける）すると零行列（全ての要素がゼロの行列）になる行列を指します。

はるか

なるほど。行列を何回か掛けたら零行列になるのか。

1.1. 例

例えば、以下の $2 \times 2$ 行列 $A$ を考えます。

$$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$

この行列 $A$ の二乗を計算してみると、

$$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$

となり、零行列になります。この場合、$k = 2$ で $A^2 = 0$ となるため、この行列 $A$ は冪零行列です。

1.2. 冪零行列の固有値

冪零行列 $A$ の固有値は、常にゼロです。

行列 $A$ の固有値 $\lambda$ と対応する固有ベクトル $\mathbf{v}$ は次の方程式を満たします。
$$A \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}$$

この両辺に $A$ を $k$ 回作用させると、
$$A^k \mathbf{v} = \lambda^k \mathbf{v}$$

しかし、$A$ が冪零行列であるため、$A^k = 0$ であることから、
$$0 \cdot \mathbf{v} = \lambda^k \mathbf{v}$$

したがって、$\mathbf{v} \neq 0$ であるためには $\lambda^k = 0$ でなければなりません。したがって、固有値 $\lambda$ は必ずゼロです。

はるか

固有値がゼロになるのも面白い。