上三角行列の具体例と性質について解説
1. 上三角行列の定義
上三角行列（じょうさんかくぎょうれつ、Upper Triangular Matrix）は、正方行列の一種で、行列の下半分の成分がすべてゼロであるものを指します。
\[ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix} \]
ここで、\( a_{ij} = 0 \) となるのは \( i > j \) のときです。
1.1. 上三角行列の具体例
例えば、3×3の上三角行列は次のようになります。
\[ A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & 4 \\ 0 & 0 & 7 \end{pmatrix} \]
この行列の行列式は、対角成分の積で計算されます。
\[ \det(A) = 2 \cdot 5 \cdot 7 = 70 \]
一般に、任意の \( n \) 次の上三角行列の場合も同様に、対角成分の積を取るだけで行列式を求めることができます。
\[ \det(A) = a_{11} \cdot a_{22} \cdot \cdots \cdot a_{nn} \]
対角成分で余因子展開をすることで、簡単に計算することができます。
1.2. 上三角行列の積
行列 \( A \) と \( B \) が両方とも \( n \times n \) の上三角行列であるとします。このとき、行列 \( C = AB \) の成分 \( c_{ij} \) は以下のように計算されます。 \[ c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj} \]
\( A \) と \( B \) の下三角部分がゼロであるため、積 \( C \) の下三角部分もゼロになります。つまり、\( i > j \) の場合は \( c_{ij} = 0 \) です。
1.3. 具体例
例として、2つの3次の上三角行列 \( A \) と \( B \) を考えます。
\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 7 & 8 & 9 \\ 0 & 10 & 11 \\ 0 & 0 & 12 \end{pmatrix} \]
これらの積 \( C = AB \) を計算します。
\[ C = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 7 & 8 & 9 \\ 0 & 10 & 11 \\ 0 & 0 & 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 28 & 60 \\ 0 & 40 & 83 \\ 0 & 0 & 72 \end{pmatrix} \]
このように、積 \( C \) も上三角行列となります。
