3×3行列の逆行列を公式で求める方法【具体例で解説】
3行3列の逆行列を求めるには「余因子行列」や「掃き出し法」がありますが、数学のテストやプログラムでは公式を使って一発で求めたいという場面も多いでしょう。
この記事では、公式をそのまま使って3×3の逆行列を求める方法を、わかりやすく説明します。
1. 3行3列の逆行列の公式
3×3の正則行列\( A \) が次のように与えられているとします。
\[ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} \]
このとき、逆行列 \( A^{-1} \) は次の公式で求められます。
\[ A^{-1} = \frac{1}{\det A} \cdot \begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & A_{31} \\ A_{12} & A_{22} & A_{32} \\ A_{13} & A_{23} & A_{33} \end{pmatrix} \]
ここで、\( A_{ij} \) は各成分に対する余因子であり、実際には以下のように直接書き下すことができます。
\[ A^{-1} = \frac{1}{a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31} – a_{12}a_{21}a_{33} – a_{11}a_{23}a_{32}} \begin{pmatrix} a_{22}a_{33} – a_{23}a_{32} & -(a_{12}a_{33} – a_{13}a_{32}) & a_{12}a_{23} – a_{13}a_{22} \\ -(a_{21}a_{33} – a_{23}a_{31}) & a_{11}a_{33} – a_{13}a_{31} & -(a_{11}a_{23} – a_{13}a_{21}) \\ a_{21}a_{32} – a_{22}a_{31} & -(a_{11}a_{32} – a_{12}a_{31}) & a_{11}a_{22} – a_{12}a_{21} \end{pmatrix} \]
これは、行列式を分母にし、余因子を並べて転置したものを分子にした形です。この計算式は、余因子行列 \(\mathrm{adj}(A) \) と逆行列 \(A^{-1}\) の関係から簡単に導くことができます。
\[ A^{-1} = \frac{1}{\det A} \mathrm{adj}(A) \]
2. 実際に計算してみよう
次の行列 \( A \) の逆行列 \( A^{-1} \) を、公式を使って求めてください。
\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{pmatrix} \]
3. ■ 解答・解説
3.1. 【ステップ1】行列式（det A）を求める
\[ \begin{aligned} \det A &= 1 \cdot (1 \cdot 0 – 4 \cdot 6) – 2 \cdot (0 \cdot 0 – 4 \cdot 5) + 3 \cdot (0 \cdot 6 – 1 \cdot 5) \\ &= 1 \cdot (-24) – 2 \cdot (-20) + 3 \cdot (-5) \\ &= -24 + 40 – 15 = 1 \end{aligned} \]
→ 行列式は 1、したがって逆行列は存在します。
3.2. 【ステップ2】逆行列の公式を使う
公式に従って、逆行列は以下のように求められます：
\[ A^{-1} = \frac{1}{\det A} \begin{pmatrix} a_{22}a_{33} – a_{23}a_{32} & -(a_{12}a_{33} – a_{13}a_{32}) & a_{12}a_{23} – a_{13}a_{22} \\ -(a_{21}a_{33} – a_{23}a_{31}) & a_{11}a_{33} – a_{13}a_{31} & -(a_{11}a_{23} – a_{13}a_{21}) \\ a_{21}a_{32} – a_{22}a_{31} & -(a_{11}a_{32} – a_{12}a_{31}) & a_{11}a_{22} – a_{12}a_{21} \end{pmatrix} \]
これを各成分で具体的に計算していきます。
3.3. 【ステップ3】成分の計算
左上の成分：
\( a_{22}a_{33} – a_{23}a_{32} = 1 \cdot 0 – 4 \cdot 6 = -24 \)
左中の成分：
\( -(a_{12}a_{33} – a_{13}a_{32}) = -(2 \cdot 0 – 3 \cdot 6) = -(-18) = 18 \)
左下の成分：
\( a_{12}a_{23} – a_{13}a_{22} = 2 \cdot 4 – 3 \cdot 1 = 8 – 3 = 5 \)
中左の成分：
\( -(a_{21}a_{33} – a_{23}a_{31}) = -(0 \cdot 0 – 4 \cdot 5) = -(-20) = 20 \)
中央：
\( a_{11}a_{33} – a_{13}a_{31} = 1 \cdot 0 – 3 \cdot 5 = -15 \)
中右の成分：
\( -(a_{11}a_{23} – a_{13}a_{21}) = -(1 \cdot 4 – 3 \cdot 0) = -4 \)
右左の成分：
\( a_{21}a_{32} – a_{22}a_{31} = 0 \cdot 6 – 1 \cdot 5 = -5 \)
右中の成分：
\( -(a_{11}a_{32} – a_{12}a_{31}) = -(1 \cdot 6 – 2 \cdot 5) = -(6 – 10) = 4 \)
右下の成分：
\( a_{11}a_{22} – a_{12}a_{21} = 1 \cdot 1 – 2 \cdot 0 = 1 \)
3.4. 【ステップ4】まとめて逆行列を表示
行列式が1なので、割り算の必要はありません：
\[ A^{-1} = \begin{pmatrix} -24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 1 \end{pmatrix} \]
4. ■ 答え
\[ A^{-1} = \begin{pmatrix} -24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 1 \end{pmatrix} \]
