2行2列（2×2）の逆行列の公式・求め方・例題について

1. 2×2行列の逆行列の公式

ふゅか

これ、元の行列の右下と左上を入れ替えて、斜めの要素の符号を逆にするんだよね！

はるか

そう。大事なのは、分母の「$ad – bc$」が0じゃないこと。

1.1. 逆行列が存在する条件

2行2列の行列

$$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$$

に対して、次の値が0でなければ逆行列は存在します：

$$\det(A) = ad – bc \neq 0$$

この値「$\det(A)$」は行列式と呼ばれます。

2. 単位行列のとの関係

実際に成り立つか確認してみましょう。$A= \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$とします。

$$AA^{-1} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{ad – bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$$

スカラー（定数）$\frac{1}{ad – bc}$ は外に出しておきます：

$$AA^{-1} = \frac{1}{ad – bc} \begin{pmatrix} a d + b(-c) & a(-b) + b a \\ c d + d(-c) & c(-b) + d a \end{pmatrix}$$

項を整理して：

• 左上： $ad – bc$
• 右上： $-ab + ab = 0$
• 左下： $cd – cd = 0$
• 右下： $-cb + da = ad – bc$

つまり、

$$AA^{-1} = \frac{1}{ad – bc} \begin{pmatrix} ad – bc & 0 \\ 0 & ad – bc \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

3. 例題：2行2列の逆行列を求めよう

3.1. ステップ1：行列式（determinant）を計算する

$$\det(A) = (5)(1) – (2)(3) = 5 – 6 = -1$$

→ 行列式が 0 ではないので、逆行列は存在します！

3.2. ステップ2：公式にあてはめる

2行2列の逆行列の公式は次の通りです：

$$A^{-1} = \frac{1}{ad – bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$$

今回は $a = 5, b = 2, c = 3, d = 1$ なので、

$$A^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -3 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 3 & -5 \end{pmatrix}$$