クラメルの公式の意味と証明について
連立一次方程式をスマートに解く方法のひとつに「クラメルの公式」があります。
式の形がとても整っていて美しいため、理論を学ぶ場面でよく登場します。
しかし、「なぜあんなふうに式がきれいに出てくるのか？」と疑問に思ったことはないでしょうか？
この記事では、クラメルの公式がなぜ正しく成り立つのか、その理由を順を追ってわかりやすく解説していきます。
1. クラメルの公式
$A_i$は$i$列目を$\mathbf b$に置き換えた行列である。
1.1. 問題設定：連立一次方程式
n個の未知数を含むn本の連立一次方程式を考えます。
\[ \begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \vdots \\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \cdots + a_{nn}x_n = b_n \end{cases} \]
行列の形で書き直すと、
\[\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix} \]
ここで、各成分は次のようにします。
- \( A \)（係数行列）：
\[ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix} \]
- \( \mathbf{x} \)（未知数ベクトル）：
\[ \mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} \]
- \( \mathbf{b} \)（定数項ベクトル）：
\[ \mathbf{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix} \]
これを使ってまとめると、
\[ A \mathbf{x} = \mathbf{b} \]
と書けます。
1.2. 置き換えた行列の意味
ここで、\(A_i\) は「Aの第\(i\)列を\(\mathbf{b}\)で置き換えた行列」なので、
例えば \(A_1\)（第1列を\(\mathbf{b}\)に置き換えたもの）は
\[ A_1 = \begin{pmatrix} b_1 & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ b_2 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_n & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix} \]
同様に、\(A_2\)（第2列を\(\mathbf{b}\)に置き換えたもの）は
\[ A_2 = \begin{pmatrix} a_{11} & b_1 & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & b_2 & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & b_n & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix} \]
そして一般に、\(A_i\)は次のような形になります。
\[ A_i = \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1,i-1} & b_1 & a_{1,i+1} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & \cdots & a_{2,i-1} & b_2 & a_{2,i+1} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{n,i-1} & b_n & a_{n,i+1} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix} \]
つまり、
- \(A\)はもともとの係数行列
- \(A_i\)は、Aの第\(i\)列だけを\(\mathbf{b}\)で置き換えた行列
2. クラメルの公式の証明
2.1. 逆行列を使った解法
もし \( A \) が「正則」（つまり行列式 \(\det A \neq 0\)）であれば、逆行列 \( A^{-1} \) が存在します。
このとき、式の両辺に逆行列 \( A^{-1} \) をかけると、
\[ A^{-1} A \mathbf{x} = A^{-1} \mathbf{b} \]
左辺は単位行列になって消えるので、
\[ \mathbf{x} = A^{-1} \mathbf{b} \]
となります。
2.2. 逆行列の具体的な形
ここで、余因子行列 \(\mathrm{adj}(A) \) と逆行列 \(A^{-1}\) には、以下の関係が成り立っています。
\[ A^{-1} = \frac{1}{\det A} \mathrm{adj}(A) \]
2.3. 解の式を展開する
これを使って、先ほどの式に代入してみます。
\[ \mathbf{x} = \frac{1}{\det A} \text{Adj}(A) \mathbf{b} \]
さらに各成分 \(x_i\) を取り出して書くと、
\[ x_i = \frac{1}{\det A} \left( b_1 \Delta_{i1} + b_2 \Delta_{i2} + \cdots + b_n \Delta_{in} \right) \]
ここで \(A^t_{ji}\) は、随伴行列（余因子行列の転置）における成分です。
つまり、この式は、第i列に関する余因子展開の形になっています。
そしてその「第i列」が、もとの行列 \(A\) の第i列を定数項ベクトル \(b\) に置き換えた行列の行列式になっているのです。
まとめると、各成分 \(x_i\) は次の式で求められることがわかります。
\[ x_i = \frac{\det A_i}{\det A} \]
ここで、
- \(A_i\)：もとの行列 \(A\) の第\(i\)列をベクトル \(\mathbf{b}\) に置き換えた行列
- \(\det A_i\)：その行列の行列式
これが、クラメルの公式です！
