不等式
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一次不等式の解き方、具体例と2つの例題について
一次不等式 ここで、$a$ と $b$ は定数で、$a\neq 0$、$x$ は未知数です。この不等式を解くための手順は次の通りです。 一次不等式を解く手順 移項 等式と同様に、まず未知数 $x$ を …
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Schurの不等式の証明について
Schurの不等式とは ここで、\( r \) は実数です。この不等式は特に \( r = 1 \) の場合、以下の形になります。 \[ x(x – y)(x – z) + y(y – z)(y – …
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ベッセルの不等式の証明と具体例について
ベッセルの不等式とは ベッセルの不等式は、計量線形空間における不等式の一つです。 証明 ノルムの2乗が正であることを利用すると、 \[ 0 \leq \left\| x – \sum_{k=1}^{n …
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ジョルダンの不等式の証明・グラフ・微分について
ジョルダンの不等式とは この不等式は、\( \theta \) が \( 0 \) から \( \pi/2 \) の範囲で正の値を取るとき、三角関数の \( \sin \theta \)は一次関数で挟 …
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【絶対値・複素数・ベクトル】三角不等式の証明と例題について
三角不等式とは 三角不等式は、数学において絶対値、複素数、ベクトルの間で成り立つ不等式で、幾何的には三角形の辺の長さに関する性質を一般化したものです。それぞれのケースについて説明します。 絶対値におけ …
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コーシー=シュワルツの不等式の証明・定義・具体例・例題について
コーシー=シュワルツの不等式とは 具体的な例として、\( n = 2 \) の場合を考えると、 \[ (a_1^2 + a_2^2)(b_1^2 + b_2^2) \geq (a_1b_1 + a_2 …
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連続型と離散型のチェビシェフの不等式の証明について
チェビシェフの不等式 チェビシェフの不等式は連続型、離散型の両方で成り立ちます。 連続型の場合のチェビシェフの不等式の証明 分散 \(\sigma^2\) は次のように定義されます。 \[ \sigm …
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Muirheadの不等式の証明と記号の意味について
必要な記号 Muirheadの不等式を理解するためには、以下の3つの記号を理解する必要があります。 $\large\displaystyle\sum_{\mathrm{sym}}$ $[a,b,c]$ …