Gouldの数列とパスカルの三角形について

ふゅか

Gouldの数列って知ってる？パスカルの三角形にある奇数の数を数えるんだって！

はるか

うん、知ってる。1, 2, 2, 4, 2…って続いていくやつだね。

1. Gould’s sequence

Gouldの数列（Gould’s sequence）は、パスカルの三角形の各行にある奇数の数を数えたものです。この数列は1から始まり、各行に含まれる奇数の数がそのまま次の項になります。

例えば、パスカルの三角形の最初の数行は次のようになります。

1行目: 1

2行目: 1, 1

3行目: 1, 2, 1

4行目: 1, 3, 3, 1

5行目: 1, 4, 6, 4, 1

…

各行に含まれる奇数を数えると。

1行目: 1（奇数は1つ）

2行目: 1, 1（奇数は2つ）

3行目: 1, 2, 1（奇数は2つ）

4行目: 1, 3, 3, 1（奇数は4つ）

5行目: 1, 4, 6, 4, 1（奇数は2つ）

…

したがって、Gouldの数列は

1,2,2,4,2,4

2. 10行目まで計算

Gouldの数列の10行目までを計算してみます。

パスカルの三角形の最初の10行と、それぞれの行に含まれる奇数の数を数えると次のようになります。

1行目: 1 （奇数は1つ）
2行目: 1, 1 （奇数は2つ）
3行目: 1, 2, 1 （奇数は2つ）
4行目: 1, 3, 3, 1 （奇数は4つ）
5行目: 1, 4, 6, 4, 1 （奇数は2つ）
6行目: 1, 5, 10, 10, 5, 1 （奇数は4つ）
7行目: 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1 （奇数は4つ）
8行目: 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1 （奇数は8つ）
9行目: 1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1 （奇数は2つ）
10行目: 1, 9, 36, 84, 126, 126, 84, 36, 9, 1 （奇数は4つ）

この結果を基に、Gouldの数列の10行目までをまとめると、

1, 2, 2, 4, 2, 4, 4, 8, 2, 4・・・

これがGouldの数列の最初の10項です。