微分積分学
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【積分】三角関数の直交性と証明について
三角関数の直交性 これはフーリエ級数展開と関係があります。 証明 正弦波（sin）同士の積の証明 まず、積和の公式を利用して、\(\sin(mx)\sin(nx)\)を以下のように変形します。 \[ …
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床関数（ガウス記号）と天井関数の性質・具体例について
床関数と天井関数 床関数 (floor function) と天井関数 (ceiling function) は、実数を整数に変換する際によく使われる関数です。それぞれ次のように定義されます。 床関数 …
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【7選】基本的な極限の公式について
三角関数の極限 続いて、特に重要でよく使われるいくつかの極限の公式を紹介します。これらは、多くの問題で頻繁に登場するため、覚えておくと役立ちます。 $$\lim_{x \to 0} \frac{\si …
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関数の極限の性質・例題について
関数の極限の性質 まず、関数の極限の性質をいくつか見てみましょう。 関数 \( f(x) \) の極限が存在するとき、定数 \( c \) を掛けた場合でも、次のように極限を計算できます。 \( f( …
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コーシーの平均値の定理の証明、イメージと具体例について
コーシーの平均値の定理とは コーシーの平均値の定理 または、次のような形で計算することができる。 \[ (f(b) – f(a))g'(c) = (g(b) – g(a))f'(c) \] 直感的なイ …
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平均値の定理の証明、イメージと具体例について
平均値の定理 平均値の定理は、ある関数がある区間で連続かつその内部で微分可能である場合、その区間のどこかに関数の平均変化率とその瞬間の変化率が一致する点が存在することを示しています。 直感的なイメージ …
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ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理の証明と具体例について
ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理 定理の要点 有界性： 数列 \((x_n)\) が有界であるとは、すべての \( n \) に対して \( |x_n| \leq M \) となるような定数 \ …
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最大値・最小値の定理の証明、イメージと具体例について
最大値・最小値の定理とは 直感的なイメージ 最大値・最小値の定理の直感的なイメージは、山と谷のように連続したグラフが閉区間内にある場合、そのグラフの中で必ず一番高いところ（最大値）と一番低いところ（最 …