微分積分学
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関数列とは？6通りの具体例とグラフについて
関数列とは まず、数列について考えてみましょう。数列とは、数が順番に並んだものです。同様に、関数列は関数が順番に並んだものを指します。形式的には、ある区間Dにおける関数列 $\{ f_n(x) \}$ …
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単調増加と単調減少の意味と性質、判定について
単調増加 単調増加は、ある関数が「常に値が増加している」状態を指します。より正確には、任意の \( x_1 < x_2 \) に対して、関数 \( f(x) \) の値が \( f(x_1) \ …
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【積分】三角関数の直交性と証明について
三角関数の直交性 これはフーリエ級数展開と関係があります。 証明 正弦波（sin）同士の積の証明 まず、積和の公式を利用して、\(\sin(mx)\sin(nx)\)を以下のように変形します。 \[ …
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床関数（ガウス記号）と天井関数の性質・具体例について
床関数と天井関数 床関数 (floor function) と天井関数 (ceiling function) は、実数を整数に変換する際によく使われる関数です。それぞれ次のように定義されます。 床関数 …
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関数の極限の性質・例題について
関数の極限の性質 まず、関数の極限の性質をいくつか見てみましょう。 関数 \( f(x) \) の極限が存在するとき、定数 \( c \) を掛けた場合でも、次のように極限を計算できます。 \( f( …
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因数定理と重解、微分の関係・具体例について
因数定理と微分と重解 因数定理とは 因数定理とは、多項式 \( P(x) \) が \( (x – r) \) を因数として持つ場合、その多項式の値 \( P(r) = 0 \) となる、という定理で …
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コーシーの平均値の定理の証明、イメージと具体例について
コーシーの平均値の定理とは コーシーの平均値の定理 または、次のような形で計算することができる。 \[ (f(b) – f(a))g'(c) = (g(b) – g(a))f'(c) \] 直感的なイ …
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平均値の定理の証明、イメージと具体例について
平均値の定理 平均値の定理は、ある関数がある区間で連続かつその内部で微分可能である場合、その区間のどこかに関数の平均変化率とその瞬間の変化率が一致する点が存在することを示しています。 直感的なイメージ …