微分積分学
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最大値・最小値の定理の証明、イメージと具体例について
最大値・最小値の定理とは 直感的なイメージ 最大値・最小値の定理の直感的なイメージは、山と谷のように連続したグラフが閉区間内にある場合、そのグラフの中で必ず一番高いところ（最大値）と一番低いところ（最 …
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ロルの定理の証明、イメージと具体例について
ロルの定理とは ロルの定理 直感的なイメージ ロルの定理は、グラフの形状に基づいて直感的に理解することができます。関数 \( f \) のグラフが \([a, b]\) の両端で同じ高さ（つまり \( …
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部分列の定義・イメージや具体例について
部分列とは 部分列を作る際には、元の列における要素の順序を変えずに抜き出す必要がありますが、抜き出す要素が連続している必要はありません。 部分列のイメージ 例えば、元の列が \( a_1, a_2, …
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部分積分の導出・計算問題について
部分積分とは 部分積分の公式 部分積分の公式の導出 積の微分法則は次のように表されます。 \[ \frac{d}{dx} \left( f(x) g(x) \right) = f'(x) g(x) + …
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数列と関数、集合の有界・上界・下界の定義・具体例・例題について
有界な集合 上界 上界の最小値を上限といいます。 下界 下界の最大値を下限といいます。 有界 有界な集合の例題 例題1 集合 \( A \) の要素は \( x < 5 \) なので、任意の \ …
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sinc関数の極限・積分・微分・グラフについて
sinc関数とは sinc関数は、信号処理やフーリエ解析などで頻繁に登場する関数で、次のように定義されます。 \[ \text{sinc}(x) = \begin{cases} \dfrac{\sin …
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双曲線関数の加法定理の証明と例題について
双曲線関数とは 双曲線関数の加法定理 加法定理 ほとんど三角関数の加法定理と同じですが、符号が異なります。三角関数の加法定理とは異なり双曲線関数の加法定理は符号は一致しています。 計算による証明 \( …
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アステロイドの面積、弧長、回転体の体積、アニメーションについて
アステロイドとは アステロイドのアニメーション アステロイド自体は、円に内接する点が円周上を滑らかに動くことで生成される曲線です。ハイポサイクロイドの一種です。定円と回転する円の半径の比が4:1になり …