固有値の積と行列式・計算問題・固有値計算の検算テクニックについて

固有値の積と行列式

行列の固有値と行列式

行列 \( A \) の固有値とは、次の固有値方程式を満たすスカラー \( \lambda \) のことです。

\[ A \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v} \]

ここで、 \(\mathbf{v}\) は固有ベクトルと呼ばれる非ゼロベクトルです。

行列 \( A \) の \( n \) 個の固有値を \(\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n\) とします。

証明

固有多項式$p(\lambda) = \det(A – \lambda I) $の根が行列 \( A \) の固有値であるため、 \( p(\lambda) \) を次の形に因数分解できます。

\[ p(\lambda) = (-1)^n (\lambda - \lambda_1)(\lambda - \lambda_2) \cdots (\lambda - \lambda_n) \]

ここで、\( \lambda = 0 \) とすると、

\[ p(0) = (-1)^n (-\lambda_1)(-\lambda_2) \cdots (-\lambda_n) = \lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_n \]

したがって、$p(0)=\det(A – 0 I) =\det(A )$より、

\[ \det(A) = \lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_n \]

このようにして、行列 \( A \) の行列式はその固有値の積であることが示されます。

例題

例題1（サイズ2の行列）

固有値の計算を行います。

\[ A - \lambda I = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 - \lambda & 1 \\ 2 & 3 - \lambda \end{pmatrix} \]

この行列の行列式を求めます。

\[ \det(A - \lambda I) = (4 - \lambda)(3 - \lambda) - (2 \cdot 1) \]

\[ = (4 - \lambda)(3 - \lambda) - 2 \]

\[ = 12 - 4\lambda - 3\lambda + \lambda^2 - 2 \]

\[ = \lambda^2 - 7\lambda + 10 \]

この二次方程式を解くと、固有値は、

\[ \lambda_1 = 5 \]\[ \lambda_2 = 2 \]

行列 \( A \) の行列式を求めると

\[ \det(A) = \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} \]

\[ = 4 \cdot 3 - 2 \cdot 1 \]

\[ = 12 - 2 \]

\[ = 10 \]

固有値の積を求めると

\[ \lambda_1 \cdot \lambda_2 = 5 \cdot 2 = 10 \]

行列の行列式 \( \det(A) = 10 \) と固有値の積 \( \lambda_1 \cdot \lambda_2 = 10 \) が一致しました。

例題2（サイズ2の要素が変数の行列）

Aの行列式を求めると次のようになる。

\[ \det A = ad - bc \]

次に固有値を求める。ケーリー・ハミルトンの定理より、固有値を$\lambda$とすると次のようになる。

\[ \lambda^2 - (a + d)\lambda + (ad - bc) = 0 \]

この二次方程式を解くことで、固有値 \(\lambda\) を求めます。

\[ \lambda = \frac{(a + d) \pm \sqrt{(a + d)^2 - 4(ad - bc)}}{2} \]

ここで$\lambda_1,\lambda_2$を次のように置く。
$$\lambda_1 = \frac{(a + d) + \sqrt{(a + d)^2 - 4(ad - bc)}}{2}$$$$\lambda_2 = \frac{(a + d) - \sqrt{(a + d)^2 - 4(ad - bc)}}{2}$$

これらの固有値$\lambda_1,\lambda_2$の積を求めます。

\[ \lambda_1\lambda_2 = \left(\frac{(a + d) + \sqrt{(a + d)^2 - 4(ad - bc)}}{2}\right) \times \left(\frac{(a + d) - \sqrt{(a + d)^2 - 4(ad - bc)}}{2}\right) \]

\[ = \frac{(a + d)^2 - \left(\sqrt{(a + d)^2 - 4(ad - bc)}\right)^2}{4} \]

\[ = \frac{(a + d)^2 - \left((a + d)^2 - 4(ad - bc)\right)}{4} \]

これをさらに整理すると、

\[ = \frac{(a + d)^2 - (a + d)^2 + 4(ad - bc)}{4} \]

\[ = \frac{4(ad - bc)}{4} \]

\[ \therefore \lambda_1\lambda_2 = ad - bc \]