線形代数
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行列のトレース（tr）の定義・4つの性質・例題について
トレースとは トレースの性質 線形性 行列 \( A \) と \( B \) が \( n \times n \) の場合、それぞれのトレースは行列の対角要素の和で表されます。 \[ \text{t …
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線形写像の核の定義・具体例・性質・例題について
線形写像の核とは 核の定義 ここで、 \( V \) は線形空間（ベクトル空間）で、線形写像 \( f \) の定義域。 \( W \) は線形空間（ベクトル空間）で、線形写像 \( f \) の値域 …
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実ベクトルの内積の性質・意味・具体例・例題について
内積とは ここで、\(\mathbf{a} = (a_1, a_2, \ldots, a_n)\) と \(\mathbf{b} = (b_1, b_2, \ldots, b_n)\) はそれぞれのベ …
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部分空間の定義・具体例・性質・例題について
部分空間とは 部分空間の例 例1：平面内の直線 加法に関して調べる。 直線 \( y = mx \) 上の任意の2つのベクトルを \(\mathbf{u} = (x_1, mx_1)\) と \(\m …
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直交系、正規直交系、正規直交基底の具体例・性質について
直交系 関数の場合、ある区間 \([a, b]\) 上で次の積分が0であるとき、関数 \( f_i \) と \( f_j \) は直交しています。 \[ \int_a^b f_i(x) f_j(x) …
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ベッセルの不等式の証明と具体例について
ベッセルの不等式とは ベッセルの不等式は、計量線形空間における不等式の一つです。 証明 ノルムの2乗が正であることを利用すると、 \[ 0 \leq \left\| x – \sum_{k=1}^{n …
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計量線形空間の定義・性質・内積の計算・例題について
計量線形空間とは 計量線形空間（内積空間、計量ベクトル空間）は、線形空間 \(V\) に内積と呼ばれる操作が定義されている空間です。内積は、任意のベクトル \(u, v \in V\) に対して実数を …
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階数(rank)の定義・性質・階数の計算方法・例題について
階数とは？ 階数の求め方 緑色の階段状になっている数が階数と一致します。 そのため、階数を求めるためには行列を行基本変形を用いて上三角形または行階段形に変形し、非ゼロの行の数を数えることでランクを求め …