線形代数
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ベッセルの不等式の証明と具体例について
ベッセルの不等式とは ベッセルの不等式は、計量線形空間における不等式の一つです。 証明 ノルムの2乗が正であることを利用すると、 \[ 0 \leq \left\| x – \sum_{k=1}^{n …
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計量線形空間の定義・性質・内積の計算・例題について
計量線形空間とは 計量線形空間（内積空間、計量ベクトル空間）は、線形空間 \(V\) に内積と呼ばれる操作が定義されている空間です。内積は、任意のベクトル \(u, v \in V\) に対して実数を …
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階数(rank)の定義・性質・階数の計算方法・例題について
階数とは？ 階数の求め方 緑色の階段状になっている数が階数と一致します。 そのため、階数を求めるためには行列を行基本変形を用いて上三角形または行階段形に変形し、非ゼロの行の数を数えることでランクを求め …
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線形写像の定義・具体例・例題について
線形写像とは 線形写像の具体例 \( \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 \) の線形写像 \( f \) の具体例を示します。 例 1: 回転行列を用いた線形写像 線形写像 …
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線形空間・ベクトル空間の定義・具体例・多項式・数列について
線形空間とは 線形空間の例 \( n \) 次元の実数ベクトルの集合 1.任意のベクトル \( \mathbf{u} = (u_1, u_2, \ldots, u_n) \)、\( \mathbf{v …
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PythonのSymPyを使った行列式の計算方法
行列式の計算 SymPyを使用して行列の行列式を計算することができます。 基本的な使用例 まず、SymPyを使用して2×2行列の行列式を計算する例を示します。 import sympy as sp # …
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QR分解とグラムシュミットの直交化法・定義・例題・計算方法について
QR分解とは ここで、 \(Q\) は \(m \times n\) 行列で、列ベクトルが直交する（つまり、\(Q^T Q = I\) となる）行列です。ただし、n×n行列になる場合は直交行列となる。 …
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直交行列の定義・性質・具体例・計算問題について
直交行列 \( U \) の定義 ここで、\( U^T \) は行列 \( U \) の転置行列、\( I \) は単位行列です。 直交行列の具体例 直交行列 \( U \) の具体例をいくつか示しま …