内分点と外分点の意味、内分点・外分点の公式の一覧について
内分点とは
内分点とは、2点 \(A\) と \(B\) を結ぶ線分上のある点 \(P\) が、その線分を特定の比で分けることを指します。具体的には、点 \(P\) が線分 \(AB\) を \(m:n\) の比で分けるとき、点 \(P\) を 内分点 といいます。
内分点の例
$AB$を$4:1$で内分する点を$Ｐ$とする。$AB=50$のとき、$AP=40,BP=10$となる。
内分点の公式
内分点の座標
\[ P(x, y) = \left( \frac{n x_1 + m x_2}{m + n}, \frac{n y_1 + m y_2}{m + n} \right) \]
詳しくは次の記事で解説しています。
ベクトルを用いた表現
\[ \vec{p} = \frac{n \vec{a} + m \vec{b}}{m + n} \]
詳しくは次の記事で解説しています。
複素数を用いた内分点
\[ z = \frac{n z_1 + m z_2}{m + n} \]
外分点とは
外分点とは、2点 \(A\) と \(B\) を結ぶ線分を延長したとき、その延長上にある点 \(Q\) が線分を特定の比で分けることを指します。この場合、点 \(Q\) を 外分点 といいます。
外分点の例
$AB$を$10:1$で外分する点を$Q$とする。$AQ=50$のとき、外分比が $10:1$ のとき、
\[ AQ : QB = 10 : 1 \]
より、$QB$ は次のようになります。
\[ QB = \frac{AQ}{10} = \frac{50}{10}=5 \]
したがって、全体の長さ $AB$ は次のように求められます。
\[ AB = AQ - QB = 50 -5= 45 \]
外分点の公式
外分点の座標
\[ P(x, y) = \left( \frac{n x_1 - m x_2}{n - m}, \frac{n y_1 - m y_2}{n - m} \right) \]
ベクトルを用いた表現
\[ \vec{p} = \frac{n \vec{a} - m \vec{b}}{n - m} \]
詳しくは次の記事で解説しています。
複素数を用いた外分点
\[ z = \frac{n z_1 - m z_2}{n - m} \]
内分点と外分点の違い
内分点と外分点の主な違いは、その位置です。内分点は線分の間に存在し、外分点は線分を延長した位置にあります。
