合同式とは この式は、\(a\) と \(b\) が \(n\) で割ったときに同じ余りを持つことを意味します。すなわち、整数$k$に対して、次の式が成り立ちます。 \[ a-b= nk \] 合同式 …

平方完成とは？ 平方完成とは、一次の項を利用して、二次方程式または二次関数の形を変形して、二次式に平方の形を作る手法です。この方法を用いると、二次方程式の解を簡単に求めることができたり、二次関数のグラ …

ウィルソンの定理とは つまり、\( p \) が素数であれば、\( (p – 1)! \) を \( p \) で割った余りは \( p – 1 \)（または \( -1 \)）になります。その逆も成 …

素因数分解 素因数分解とは、自然数をそれ以上分解できない素数の積として表すことを指します。具体的には、ある自然数 \( n \) が与えられたとき、その数を素数（1とその数自身以外に約数を持たない数） …

対偶を利用した証明問題 対偶を用いた証明は、命題 \( P \Rightarrow Q \) を証明する際、その対偶である \(  \overline{Q} \Rightarrow \overline …

命題 命題とは、真偽が明確に定まる文のことです。例えば、「すべての偶数は2の倍数である」は真の命題ですが、「2は奇数である」は偽の命題です。 pを仮定、qを結論と呼ぶ。 命題の逆 命題「 \( p \ …

一次不等式と数直線 不等式の解を視覚的に示すときに数直線を使います。例えば、\( x > 2 \) の場合、2 より大きい数の範囲を数直線上に描くことで、解の範囲を視覚的に表現できます。 数直線 …

素数とは 言い換えると、１以外の素数は2つの正の約数しか持たない数です。 例えば、次の数は素数です。 2: 約数は1と2 3: 約数は1と3 5: 約数は1と5 7: 約数は1と7 これらの数は、1と …

一次不等式 ここで、$a$ と $b$ は定数で、$a\neq 0$、$x$ は未知数です。この不等式を解くための手順は次の通りです。 一次不等式を解く手順 移項 等式と同様に、まず未知数 $x$ を …

ルジャンドルの定理とは 具体例 \( 10! \)を２で何回割ることができるか示す。 \[ \begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty} \left\lfloor \frac{ …

床関数と天井関数 床関数 (floor function) と天井関数 (ceiling function) は、実数を整数に変換する際によく使われる関数です。それぞれ次のように定義されます。 床関数 …

方程式ax+b=0の解き方 この問題はaで場合分けが必要です。では、なぜaで場合分けが必要なのでしょうか？ 場合分けをする理由 方程式 \( ax + b = 0 \) を解く際に場合分けが必要になる …

一次方程式 ここで、$a$ と $b$ は定数で、$a\neq 0$、$x$ は未知数です。 一次方程式と一次関数の関係 一次方程式の解は、一次関数がy=0のときのxの値になります。 一次方程式を解く …

無理数の有理化 無理数の有理化は、主に分母の無理数を、有理数のみを含む形に変換することを指します。特に分母に平方根や立方根などの無理数が含まれている場合に用いられます。 分母に平方根しかない場合の有理 …

関数の極限の性質 まず、関数の極限の性質をいくつか見てみましょう。 関数 \( f(x) \) の極限が存在するとき、定数 \( c \) を掛けた場合でも、次のように極限を計算できます。 \( f( …

三角関数の極限 続いて、特に重要でよく使われるいくつかの極限の公式を紹介します。これらは、多くの問題で頻繁に登場するため、覚えておくと役立ちます。 $$\lim_{x \to 0} \frac{\si …