円の方程式 円の方程式の導出 点 \( P(x, y) \) と、円の中心 \( A(a, b) \) の距離が半径 \( r \) であるとします。このとき、点 \( P \) は円の周上にあるため …

三角関数の合成 ポイント 三角関数の合成ポイントは、加法定理を逆から計算することでできるということです。 これさえ理解していれば、 cosの合成が出てきても対応ができないという事態は起きません。 si …

加法定理 加法定理といえば6つの式があり、証明が面倒だなというイメージを持っているかもしれません。ですが、たった一つの式を証明すれば芋づる形式でほかの加法定理を導くことができます。 加法定理の証明 ア …

共役な複素数とは 例えば、複素数 \( z = 3 + 4i \) の共役は \( \overline{z} = 3 – 4i \) です。 共役な複素数の性質 性質1の証明 $\overline{\ …

複素数 ω $x^{3}-1=0$ の方程式の解について まず、$x^{3}-1=0$ を因数分解してみます。 \[ (x – 1)(x^{2} + x + 1) = 0 \] この式から、$x – …

2変数の相加相乗平均 相加相乗平均の証明 計算して相加相乗平均を証明する まず、$a \geq 0$、$b \geq 0$ であるとき、次の式を考えます。 $$a + b – 2\sqrt{ab} = …

三角関数の積分の公式 まずは三角関数の基本的な積分の形で、よく利用される公式です。Cは積分定数とします。 $$\displaystyle\int \sin x \, dx = -\cos x + C$ …

対数微分法とは 対数微分法は対数をとることで微分を楽にする方法。微分が困難であるときや計算が複雑な時に用いると計算が楽になることがある。 対数微分法が成り立つ理由 実際に微分の計算をすると、 $$y’ …

目次 微分の公式 証明 導関数の定義式を使います。 1の微分 $\lim _\limits{h\rightarrow 0}\dfrac{\left( x+h\right) ^{p}-x^{p}}{h} …

ド・モアブルの定理 対応関係図 ド・モアブルの定理を数式で色分けすると以下のようになります。 数学的帰納法による証明 数学的帰納法を利用して証明する。 $n=0$のとき、 $$(\cos\theta+ …

複素数平面 複素数平面は、ガウス平面や複素平面とも呼ばれることがあります。 複素数 $z = a + bi$ は、$a$ が実数部分、$b$ が虚数部分で、$i$ は虚数単位を表しています。このとき、 …

誕生日のパラドックス

組み合わせ $_{n}\mathrm C_{r}$とは？  組み合わせにおける意味 組み合わせとは、重複を許さずにn個の中からr個を選ぶことを指します。 ここでのポイントは、選んだものを順序づけていな …

順列とは $_{n}\mathrm P_{r}$の定義 順列とは、重複を許さずにn個の中からr個を選び、その選んだ要素を特定の順番で並べる方法のことです。この並べ方の数を表すのが、$_{n}\math …

階乗とは？ 階乗 (factorial) とは、ある自然数 n に対して、その数から 1 までのすべての自然数を掛け合わせた値のことを指します。数学では、階乗を \( n! \) と表記します。この記 …

二次方程式の解の公式 証明 二次方程式$ax^{2}+bx+c=0$($a\neq 0$)について、平方完成を行うと、 $$\begin{align*} a\left( x^{2}+\dfrac{b} …